2.145 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а) 9/65, 21/50 и 11/650; б) 32/63, 7/147 и 41/55; в) 11/15, 7/12 и 37/60; г) 71/108, 23/72 и 47/90.

Привет! На фото обведено задание 2.145 — привожу дроби к наименьшему общему знаменателю.

Краткий ответ а) \(\frac{9}{65}=\frac{90}{650}\), \(\frac{21}{50}=\frac{273}{650}\), \(\frac{11}{650}=\frac{11}{650}\);

б) \(\frac{32}{63}=\frac{1760}{3465}\), \(\frac{7}{147}=\frac{165}{3465}\), \(\frac{41}{55}=\frac{2583}{3465}\);

в) \(\frac{11}{15}=\frac{44}{60}\), \(\frac{7}{12}=\frac{35}{60}\), \(\frac{37}{60}=\frac{37}{60}\);

г) \(\frac{71}{108}=\frac{710}{1080}\), \(\frac{23}{72}=\frac{345}{1080}\), \(\frac{47}{90}=\frac{564}{1080}\).

Как это получить

1. Если дробь сокращается, сначала сокращаю её.
2. Раскладываю знаменатели на простые множители.
3. НОЗ — произведение наибольших степеней всех простых множителей.
4. Дополнительный множитель = НОЗ : знаменатель. Умножаю на него числитель и знаменатель.

Пример пункта а): \[ 65=5\cdot13,\quad 50=2\cdot5^2,\quad 650=2\cdot5^2\cdot13. \] Наибольшие степени: \(2^1,\ 5^2,\ 13^1\), поэтому \[ \text{НОЗ}=2\cdot5^2\cdot13=650. \] Доп. множители: \(650:65=10\), \(650:50=13\), \(650:650=1\). Значит, \[ \frac{9}{65}=\frac{9\cdot10}{65\cdot10}=\frac{90}{650},\quad \frac{21}{50}=\frac{21\cdot13}{50\cdot13}=\frac{273}{650},\quad \frac{11}{650}=\frac{11}{650}. \]

Остальные пункты: б) \(\frac{7}{147}=\frac{1}{21}\) — сократили на \(7\). Тогда знаменатели \(63,21,55\): \[ 63=3^2\cdot7,\quad 21=3\cdot7,\quad 55=5\cdot11, \] \[ \text{НОЗ}=3^2\cdot7\cdot5\cdot11=3465. \] Доп. множители: \(55,\ 165,\ 63\). Получаем \(\frac{1760}{3465},\ \frac{165}{3465},\ \frac{2583}{3465}\).

в) \(15=3\cdot5,\ 12=2^2\cdot3,\ 60=2^2\cdot3\cdot5\), поэтому НОЗ \(=60\). Доп. множители: \(4,\ 5,\ 1\). Получаем \(\frac{44}{60},\ \frac{35}{60},\ \frac{37}{60}\).

г) \(108=2^2\cdot3^3,\ 72=2^3\cdot3^2,\ 90=2\cdot3^2\cdot5\), поэтому \[ \text{НОЗ}=2^3\cdot3^3\cdot5=1080. \] Доп. множители: \(10,\ 15,\ 12\). Получаем \(\frac{710}{1080},\ \frac{345}{1080},\ \frac{564}{1080}\).

Проверка Проверил: каждая новая дробь равна исходной — например, \(\frac{90}{650}=\frac{9}{65}\) после сокращения на \(10\). Внутри каждого пункта знаменатели одинаковые, значит, приведение выполнено верно. В пункте б) важно было сначала сократить \(\frac{7}{147}\): иначе общий знаменатель получился бы больше и не был бы наименьшим.