Алгебра √475-476
Сверь числа и знаки с фото.
- После того как смешали 12 г одной жидкости с 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой оказалась равной 1,3 г/см³. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на 0,2 г/см³ больше плотности другой?
- Из куска олова массой 356 г и куска меди массой 438 г сделали сплав. Известно, что плотность олова на 1,6 г/см³ больше, чем плотность меди. Найдите объём куска меди, если объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди.
Кратко
- 475. Плотности жидкостей: \(1{,}2\) г/см³ (12 г) и \(1{,}4\) г/см³ (14 г).
- 476. Объём куска меди: \(60\) см³.
475. Как рассуждать
Плотность: \[ \rho=\frac{m}{V}, \qquad V=\frac{m}{\rho}. \]
Пусть \(x\) г/см³ — плотность жидкости, которой взяли \(12\) г. Тогда у жидкости массой \(14\) г плотность \(x+0{,}2\) г/см³.
Объём смеси равен сумме объёмов: \[ \frac{12}{x}+\frac{14}{x+0{,}2}. \]
Масса смеси \(12+14=26\) г, а её плотность \(1{,}3\) г/см³, значит, объём смеси: \[ \frac{26}{1{,}3}=20\text{ см}^3. \]
Получаем уравнение: \[ \frac{12}{x}+\frac{14}{x+0{,}2}=20. \]
Умножаем на \(x(x+0{,}2)\), \(x>0\): \[ 12(x+0{,}2)+14x=20x(x+0{,}2), \] \[ 10x^2-11x-1{,}2=0. \]
Дискриминант: \[ D=121+48=169=13^2. \]
Тогда: \[ x=\frac{11\pm13}{20}. \]
Подходит только положительный корень: \[ x=\frac{24}{20}=1{,}2. \]
Значит, вторая плотность: \[ 1{,}2+0{,}2=1{,}4. \]
Проверка: объёмы \(12/1{,}2=10\) см³ и \(14/1{,}4=10\) см³, всего \(20\) см³; масса \(26\) г; \(26:20=1{,}3\). Всё сходится.
476. Как рассуждать
Пусть \(x\) см³ — объём меди. Тогда объём олова: \[ x-20. \]
Плотность меди: \[ \frac{438}{x}, \] плотность олова: \[ \frac{356}{x-20}. \]
По условию плотность олова на \(1{,}6\) г/см³ больше: \[ \frac{356}{x-20}-\frac{438}{x}=1{,}6. \]
Умножаем на \(x(x-20)\): \[ 356x-438(x-20)=1{,}6x(x-20). \]
После упрощения: \[ 1{,}6x^2+50x-8760=0. \]
Умножим на \(5\): \[ 8x^2+250x-43800=0. \]
Разделим на \(2\): \[ 4x^2+125x-21900=0. \]
Дискриминант: \[ D=125^2+4\cdot4\cdot21900=366025=605^2. \]
Корни: \[ x=\frac{-125\pm605}{8}. \]
Так как объём положителен и \(x>20\), берём: \[ x=\frac{480}{8}=60. \]
Проверка: объём олова \(40\) см³; плотность олова \(356:40=8{,}9\), меди \(438:60=7{,}3\); разность \(1{,}6\). Всё верно.
Главный принцип: в задачах на плотность всегда начинай с \(\rho=m/V\). Слова «на столько-то больше/меньше» превращай в разность плотностей или объёмов, а отрицательные корни отбрасывай по смыслу задачи.
Обсуждение
2 сообщенияНет, мне надо решение этих задач
№ 475 — полное решение
Пусть \(x\) г/см³ — плотность первой жидкости.
Тогда плотность второй жидкости равна \(x+0{,}2\) г/см³.
Массы жидкостей: \(12\) г и \(14\) г.
Объём первой жидкости:
\[ V_1=\frac{12}{x} \]
Объём второй жидкости:
\[ V_2=\frac{14}{x+0{,}2} \]
Масса смеси:
\[ 12+14=26\text{ г} \]
Плотность смеси \(1{,}3\) г/см³, значит, её объём:
\[ V_{\text{см}}=\frac{26}{1{,}3}=20\text{ см}^3 \]
Получаем уравнение:
\[ \frac{12}{x}+\frac{14}{x+0{,}2}=20 \]
Умножим обе части на \(x(x+0{,}2)\), где \(x>0\):
\[ 12(x+0{,}2)+14x=20x(x+0{,}2) \]
Раскрываем скобки:
\[ 12x+2{,}4+14x=20x^2+4x \]
\[ 26x+2{,}4=20x^2+4x \]
\[ 20x^2-22x-2{,}4=0 \]
Разделим на \(2\):
\[ 10x^2-11x-1{,}2=0 \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-11)^2-4\cdot10\cdot(-1{,}2)=121+48=169 \]
\[ \sqrt D=13 \]
Тогда:
\[ x_{1,2}=\frac{11\pm13}{20} \]
\[ x_1=\frac{24}{20}=1{,}2 \]
\[ x_2=-\frac{2}{20}=-0{,}1 \]
Плотность не может быть отрицательной, поэтому:
\[ x=1{,}2\text{ г/см}^3 \]
Тогда плотность второй жидкости:
\[ x+0{,}2=1{,}4\text{ г/см}^3 \]
Ответ: \(1{,}2\) г/см³ и \(1{,}4\) г/см³.
№ 476 — полное решение
Пусть \(x\) см³ — объём куска меди.
Тогда объём куска олова равен \(x-20\) см³.
Масса меди \(438\) г, масса олова \(356\) г.
Плотность меди:
\[ \frac{438}{x} \]
Плотность олова:
\[ \frac{356}{x-20} \]
По условию плотность олова на \(1{,}6\) г/см³ больше плотности меди:
\[ \frac{356}{x-20}-\frac{438}{x}=1{,}6 \]
Запишем \(1{,}6\) как \(\frac{8}{5}\):
\[ \frac{356}{x-20}-\frac{438}{x}=\frac{8}{5} \]
Умножим обе части на \(5x(x-20)\):
\[ 5\cdot356x-5\cdot438(x-20)=8x(x-20) \]
\[ 1780x-2190x+43800=8x^2-160x \]
\[ -410x+43800=8x^2-160x \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ 8x^2+250x-43800=0 \]
Разделим на \(2\):
\[ 4x^2+125x-21900=0 \]
Дискриминант:
\[ D=125^2-4\cdot4\cdot(-21900) \]
\[ D=15625+350400=366025 \]
\[ \sqrt D=605 \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-125\pm605}{8} \]
\[ x_1=\frac{480}{8}=60 \]
\[ x_2=\frac{-730}{8}=-91{,}25 \]
Объём не может быть отрицательным, поэтому:
\[ x=60\text{ см}^3 \]
Ответ: объём куска меди равен \(60\) см³.
