Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Корни: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Способ 1. Разложение на множители

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\) (коэффициент при \(x\) с обратным знаком), а в произведении — \(6\) (свободный член). Это \(2\) и \(3\). Значит:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2, \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.

Главное правило

Квадратное уравнение \(ax^{2}+bx+c=0\) удобно решать так: если числа подбираются легко — разложи на множители по теореме Виета \(\left(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\; x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\right)\); если нет — считай дискриминант. При \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.