2.97

Question

2.97

Расшифровка фото нейросетью:
2.97 Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 12 и 8; б) 14 и 42; в) 108 и 132; г) 90 и 315; д) 10, 15 и 30; е) 6, 8 и 12; ж) 6, 9 и 18; з) 77, 91 и 143.

Answer

Краткий ответ

а) $24$; б) $42$; в) $1188$; г) $630$; д) $30$; е) $24$; ж) $18$; з) $1001$.

Как это работает

Чтобы найти НОК нескольких чисел:

1. раскладываем каждое число на простые множители;

2. для каждого простого множителя берём наибольшую степень, с которой он встретился;

3. перемножаем выбранные степени.

Почему так: НОК должно делиться на каждое число, поэтому в нём должны быть все нужные простые множители. Но лишние множители брать нельзя — иначе кратное не будет наименьшим.

Например, для пункта в):
$$
108=2^2\cdot3^3,\qquad 132=2^2\cdot3\cdot11.
$$
Наибольшие степени: $2^2$, $3^3$, $11^1$. Значит,
$$
\text{НОК}=2^2\cdot3^3\cdot11=1188.
$$

Для трёх чисел правило то же. В пункте з):
$$
77=7\cdot11,\quad 91=7\cdot13,\quad 143=11\cdot13.
$$
Каждый множитель $7,11,13$ берём по одному разу:
$$
\text{НОК}=7\cdot11\cdot13=1001.
$$

Все пункты

Пункт |
Разложения |
НОК |

а) |
$12=2^2\cdot3$, $8=2^3$ |
$2^3\cdot3=24$ |

б) |
$14=2\cdot7$, $42=2\cdot3\cdot7$ |
$2\cdot3\cdot7=42$ |

в) |
$108=2^2\cdot3^3$, $132=2^2\cdot3\cdot11$ |
$2^2\cdot3^3\cdot11=1188$ |

г) |
$90=2\cdot3^2\cdot5$, $315=3^2\cdot5\cdot7$ |
$2\cdot3^2\cdot5\cdot7=630$ |

д) |
$10=2\cdot5$, $15=3\cdot5$, $30=2\cdot3\cdot5$ |
$2\cdot3\cdot5=30$ |

е) |
$6=2\cdot3$, $8=2^3$, $12=2^2\cdot3$ |
$2^3\cdot3=24$ |

ж) |
$6=2\cdot3$, $9=3^2$, $18=2\cdot3^2$ |
$2\cdot3^2=18$ |

з) |
$77=7\cdot11$, $91=7\cdot13$, $143=11\cdot13$ |
$7\cdot11\cdot13=1001$ |

Проверка

Я проверил делением: $1188:108=11$, $1188:132=9$; $1001:77=13$, $1001:91=11$, $1001:143=7$. Остальные значения тоже делятся на свои числа без остатка.

Полезно заметить: если одно число делится на другое, НОК равно большему числу — так получилось в пунктах б), д), ж). А просто перемножать все числа нельзя: общие множители посчитались бы несколько раз.

Пункт	Разложения	НОК
а)	\(12=2^2\cdot3\), \(8=2^3\)	\(2^3\cdot3=24\)
б)	\(14=2\cdot7\), \(42=2\cdot3\cdot7\)	\(2\cdot3\cdot7=42\)
в)	\(108=2^2\cdot3^3\), \(132=2^2\cdot3\cdot11\)	\(2^2\cdot3^3\cdot11=1188\)
г)	\(90=2\cdot3^2\cdot5\), \(315=3^2\cdot5\cdot7\)	\(2\cdot3^2\cdot5\cdot7=630\)
д)	\(10=2\cdot5\), \(15=3\cdot5\), \(30=2\cdot3\cdot5\)	\(2\cdot3\cdot5=30\)
е)	\(6=2\cdot3\), \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\)	\(2^3\cdot3=24\)
ж)	\(6=2\cdot3\), \(9=3^2\), \(18=2\cdot3^2\)	\(2\cdot3^2=18\)
з)	\(77=7\cdot11\), \(91=7\cdot13\), \(143=11\cdot13\)	\(7\cdot11\cdot13=1001\)