175. Решите линейные уравнения: а) (2x - 3)(4x + 1) - 2(2x - 5)² = 72; б) 3x(x - 7) - 3(x - 4)² + 12 = 27;

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
175. Решите линейные уравнения:
а) $(2x - 3)(4x + 1) - 2(2x - 5)^2 = 72$;
б) $3x(x - 7) - 3(x - 4)^2 + 12 = 27$;
в) $\frac{4x - 1}{5} + \frac{2 - 3x}{10} = 3 - \frac{1 - 2x}{5}$;
г) $\frac{2x + 7}{3} - \frac{4 - 5x}{6} = 1 + \frac{3 - x}{2}$.

176. Решите квадратные уравнения:
а) $(3x - 5)(2x + 7) = 0$;
б) $(3x - 5)(2x + 7) = 1$;
в) $(3x - 5)(2x + 7) = 2x + 7$;

177. Решите биквадратные уравнения:
а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$;
б) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$;
в) $x^4 - 4x^2 - 32 = 0$ ;

Answer

Краткие ответы

175. а) $x=\frac{25}{6}$; б) $x=21$; в) $x=28$; г) $x=\frac{5}{12}$.

176. а) $x=\frac{5}{3}$ или $x=-\frac{7}{2}$; б) $x=\frac{-11\pm\sqrt{985}}{12}$; в) $x=-\frac{7}{2}$ или $x=2$.

180. а) $x=\pm 2,\ \pm\sqrt{2}$; б) $x=\pm 4,\ \pm 3$; в) $x=\pm 2\sqrt{2}$.

Как решать

175. Линейные уравнения. Общий приём: раскрыть скобки, привести подобные и получить уравнение вида $ax=b$. Если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель.

а) Раскрываю скобки:
$$
(2x-3)(4x+1)=8x^2-10x-3,\qquad 2(2x-5)^2=8x^2-40x+50.
$$
Вычитаю: $8x^2-10x-3-(8x^2-40x+50)=30x-53$. Получаю $30x-53=72$, значит $30x=125$, $x=\frac{25}{6}$.

б) $3x(x-7)=3x^2-21x$, $3(x-4)^2=3x^2-24x+48$. Тогда:
$$
3x^2-21x-(3x^2-24x+48)+12=3x-36.
$$
Уравнение $3x-36=27$ даёт $3x=63$, $x=21$.

в) Умножаю обе части на 10:
$$
2(4x-1)+(2-3x)=30-2(1-2x).
$$
Раскрываю: $8x-2+2-3x=30-2+4x$, то есть $5x=28+4x$, откуда $x=28$.

г) Умножаю на 6:
$$
2(2x+7)-(4-5x)=6+3(3-x).
$$
Получаю $4x+14-4+5x=6+9-3x$, далее $9x+10=15-3x$, $12x=5$, $x=\frac{5}{12}$.

176. Квадратные уравнения.

а) Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
$3x-5=0$ или $2x+7=0$. Отсюда $x=\frac{5}{3}$ или $x=-\frac{7}{2}$.

б) Раскрываю скобки: $(3x-5)(2x+7)=6x^2+11x-35$. Тогда:
$$
6x^2+11x-35=1 \quad\Rightarrow\quad 6x^2+11x-36=0.
$$
Дискриминант $D=11^2-4\cdot6\cdot(-36)=121+864=985$. Корни:
$$
x=\frac{-11\pm\sqrt{985}}{12}.
$$
Дискриминант не является полным квадратом, поэтому корни иррациональные.

в) Переношу всё влево:
$$
(3x-5)(2x+7)-(2x+7)=0.
$$
Выношу $(2x+7)$:
$$
(2x+7)(3x-5-1)=(2x+7)(3x-6)=0.
$$
Значит, $x=-\frac{7}{2}$ или $x=2$.

180. Биквадратные уравнения. Замена $t=x^2$, где $t\ge0$. Решаю квадратное уравнение относительно $t$, затем возвращаюсь к $x$.

а) $t^2-6t+8=0$. По теореме Виета $t=2$ или $t=4$. Оба значения неотрицательны. Тогда $x^2=2$ или $x^2=4$, откуда $x=\pm\sqrt{2}$ или $x=\pm2$.

б) $t^2-25t+144=0$. Корни $t=9$ и $t=16$ (так как $9+16=25$, $9\cdot16=144$). Тогда $x^2=9$ или $x^2=16$, то есть $x=\pm3$ или $x=\pm4$.

в) $t^2-4t-32=0$. Корни $t=8$ и $t=-4$. Значение $t=-4$ не подходит, ведь $x^2\ge0$. Остаётся $x^2=8$, откуда $x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$.

Проверка

Для 175в при $x=28$: левая часть $\frac{112-1}{5}+\frac{2-84}{10}=\frac{111}{5}-\frac{82}{10}=22{,}2-8{,}2=14$; правая часть $3-\frac{1-56}{5}=3+11=14$. Верно.

Для 176в при $x=2$: $(6-5)(4+7)=11$, а $2x+7=11$. Верно.

Для 180а при $x=2$: $2^4-6\cdot2^2+8=16-24+8=0$. Верно.

Главное — сначала определить тип уравнения, а потом выбрать приём: раскрытие скобок, общий знаменатель, разложение на множители или замену переменной.