384. Решите систему уравнений:

Краткий ответ (порядок в паре — \((x;y)\)):

• а) \((3;0)\), \((0;-3)\);
• б) \((6;2)\), \((-2;-6)\);
• в) \((1;3)\), \(\left(-\frac{9}{4};-\frac{7}{2}\right)\).

Принцип. В каждом пункте есть линейное уравнение. Из него удобно выразить одну переменную и подставить во второе уравнение — получится квадратное уравнение относительно одной переменной.

а) \(\begin{cases}x^2+y^2=9,\\ x-y=3\end{cases}\)

Из второго уравнения: \[ x=y+3. \] Подставляем в первое: \[ (y+3)^2+y^2=9, \] \[ 2y^2+6y=0 \quad\Rightarrow\quad 2y(y+3)=0. \] Значит, \(y=0\) или \(y=-3\). Тогда:

• при \(y=0\): \(x=3\);
• при \(y=-3\): \(x=0\).

Ответ: \((3;0)\), \((0;-3)\).

б) \(\begin{cases}x-y=4,\\ xy=12\end{cases}\)

\[ x=y+4. \] Подставляем: \[ (y+4)y=12, \] \[ y^2+4y-12=0. \] \[ D=16+48=64,\qquad y=\frac{-4\pm 8}{2}. \] Отсюда \(y=2\) или \(y=-6\). Тогда \(x=6\) или \(x=-2\).

Ответ: \((6;2)\), \((-2;-6)\).

в) \(\begin{cases}2x-y=-1,\\ x+y^2=10\end{cases}\)

Из первого уравнения: \[ y=2x+1. \] Подставляем: \[ x+(2x+1)^2=10, \] \[ 4x^2+5x-9=0. \] \[ D=25+144=169,\qquad x=\frac{-5\pm 13}{8}. \] Значит, \(x=1\) или \(x=-\frac94\). Тогда:

• при \(x=1\): \(y=3\);
• при \(x=-\frac94\): \(y=-\frac72\).

Ответ: \((1;3)\), \(\left(-\frac94;-\frac72\right)\).

Проверка: все пары при подстановке удовлетворяют обоим уравнениям соответствующих систем.