Практические задания 100 Начертите прямую a и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от прямой a.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Практические задания
100 Начертите прямую $a$ и отметьте точки $A$ и $B$, лежащие по разные стороны от прямой $a$. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой $a$.
101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.
102 Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
103 Начертите треугольник $ABC$ с тремя острыми углами и треугольник $MNP$, у которого угол $M$ тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.
104 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:
а) острым; б) прямым; в) тупым.

Answer

На фото пять заданий (100–104) — все на построение. Решаю каждое (это построения, поэтому показываю порядок действий и как проверить результат).

100. Перпендикуляры из двух точек

1. Проводим прямую $a$, по разные стороны от неё отмечаем $A$ и $B$.

2. Угольник: один катет прикладываем к прямой $a$, двигаем вдоль неё, пока второй катет не пройдёт через $A$. Чертим отрезок до $a$ — получаем основание перпендикуляра $A_1$.

3. То же для $B$: получаем $B_1$.

Проверка: $\angle AA_{1}a=\angle BB_{1}a=90^\circ$, поэтому $AA_1\parallel BB_1$ (две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны).

101. Медианы

Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны.

1. Линейкой измеряем каждую сторону, делим длину пополам, ставим середины: $M$ на $BC$, $N$ на $AC$, $K$ на $AB$.

2. Соединяем $A$ с $M$, $B$ с $N$, $C$ с $K$.

Проверка: все три медианы проходят через одну точку (центроид), и каждая делится ею в отношении $2:1$ от вершины, то есть $AM=2\cdot(\text{расстояние от точки пересечения до }M)$.

102. Биссектрисы

Биссектриса делит угол пополам.

1. Транспортиром измеряем $\angle A$, откладываем от стороны половину угла — проводим луч. Так же для $B$ и $C$.

2. Три биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

Проверка: из точки пересечения опускаем перпендикуляры на все три стороны — они равны (это радиус вписанной окружности).

103. Высоты (главная тонкость)

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

В треугольнике $ABC$ все углы острые, поэтому все три высоты лежат внутри.

В треугольнике $MNP$ угол $M$ тупой: высота из $M$ на $NP$ идёт внутри, а высоты из $N$ (на $MP$) и из $P$ (на $MN$) падают на продолжения сторон — эти стороны нужно продлить за точку $M$.

Проверка: в каждом основании высоты угол $90^\circ$ (угольник), и все три прямые (или их продолжения) сходятся в одной точке — ортоцентре.

104. Три равнобедренных треугольника

Пусть $AB=BC$, основание $AC$, тогда угол против основания — это $\angle B$.
Углы при основании равны: $\angle A=\angle C=\dfrac{180^\circ-\angle B}{2}$ — они всегда острые, поэтому всё определяется углом $B$.

а) $\angle B=60^\circ$ (равносторонний тоже равнобедренный): $\angle A=\angle C=60^\circ$;

б) $\angle B=90^\circ$: $\angle A=\angle C=45^\circ$;

в) $\angle B=120^\circ$: $\angle A=\angle C=30^\circ$.

Проверка: боковые стороны равны по линейке, углы при основании равны по транспортиру, сумма $180^\circ$.

Общий принцип: медиана идёт «в середину стороны», биссектриса делит угол, высота всегда перпендикулярна стороне (или её продолжению) — именно поэтому в тупоугольном треугольнике две высоты оказываются снаружи.