реши номера 208,209,210 чётные

Беру чётные пункты: 208 2), 4); 209 2), 4); 210 2), 4), 6).

Краткие ответы

• 208 2) \(x=\frac23\); 4) \(x=-\frac23\);
• 209 2) \(x=-\frac12\); 4) \(x=4\);
• 210 2) \(x=\frac52\); 4) \(x=9\); 6) \(x=\frac25\).

Принцип

Если обе части уравнения удаётся записать как степени с одним и тем же основанием \(a>0\), \(a\ne1\):

\[ a^u=a^v \quad\Rightarrow\quad u=v, \]

то уравнение сводится к равенству показателей. Помогают формулы:

\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

Решения

208 2)
\[ 0,3^{3x-2}=1=0,3^0 \] \[ 3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac23. \]

208 4)
\[ \left(\frac13\right)^{3x}=\left(\frac13\right)^{-2} \] \[ 3x=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac23. \]

209 2)
Замечаем, что \(400=20^2\), а \(\frac1{20}=20^{-1}\): \[ (20^2)^x=20^{-1} \] \[ 20^{2x}=20^{-1} \] \[ 2x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac12. \]

209 4)
\[ \left(\frac13\right)^x=\frac1{81} \] Так как \(81=3^4\), то \(\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4\): \[ \left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^4 \] \[ x=4. \]

210 2)
\[ 2\cdot4^x=64 \] \[ 4^x=32 \] \[ (2^2)^x=2^5 \] \[ 2^{2x}=2^5 \] \[ 2x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac52. \]

210 4)
\[ 0,5^{x+7}\cdot0,5^{1-2x}=2 \] При умножении степеней показатели складываются: \[ 0,5^{(x+7)+(1-2x)}=0,5^{8-x}. \] Так как \(2=0,5^{-1}\): \[ 0,5^{8-x}=0,5^{-1} \] \[ 8-x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=9. \]

210 6)
\[ 6^{3x}\cdot\frac16=6\cdot\left(\frac16\right)^{2x} \] \[ 6^{3x}\cdot6^{-1}=6^1\cdot6^{-2x} \] \[ 6^{3x-1}=6^{1-2x} \] \[ 3x-1=1-2x \] \[ 5x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac25. \]

Проверка

Например, в 210 6) при \(x=\frac25\): \[ 3x-1=\frac65-1=\frac15,\qquad 1-2x=1-\frac45=\frac15, \] то есть обе части равны \(6^{1/5}\).

В 210 4) при \(x=9\): \[ x+7=16,\qquad 1-2x=-17,\qquad 16+(-17)=-1, \] а \(0,5^{-1}=2\). Остальные корни также дают верные равенства.