Разберу медленнее — по одному правилу за раз. Всего здесь нужно два правила и одна привычка.

Правило 1. Минус в показателе — это «перенос через черту»

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, \qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^{n} \]

Читается так: минус в показателе означает «множитель стоит не с той стороны дробной черты». Переносим его на другую сторону — минус исчезает, показатель становится положительным.

Проверить, откуда это берётся, легко: \(\dfrac{a^{3}}{a^{3}}=a^{3-3}=a^{0}=1\), а с другой стороны \(\dfrac{a^{3}}{a^{3}}=1\). Значит \(a^{0}=1\), и тогда \(a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}=1\), то есть \(a^{-n}\) — это «перевёрнутое» \(a^{n}\).

Важно: \(x^{-5}\) — не отрицательное число. Это \(\dfrac{1}{x^{5}}\), дробь. При \(x=2\) получается \(\dfrac{1}{32}\), а не \(-32\).

Правило 2. Одинаковые буквы — свои показатели, числа — свои

\[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \]

То есть при умножении показатели складываем, при делении — вычитаем (из верхнего нижний). Буквы \(x\) и \(y\) между собой не смешиваются никогда. И не забываем: \(y\) — это \(y^{1}\), а \(a\) в знаменателе — это \(a^{1}\).

Привычка. Порядок действий

1. Убрать все минусы в показателях (перенести через черту).
2. Сократить числа.
3. Отдельно собрать каждую букву.
4. Записать ответ.

Теперь по пунктам — именно в этом порядке.

а) \(\dfrac{12x^{-5}}{y^{-6}}\cdot\dfrac{y}{36x^{-9}}\)

Шаг 1. Убираем минусы:

• \(x^{-5}\) в числителе → уходит в знаменатель как \(x^{5}\);
• \(y^{-6}\) в знаменателе → поднимается в числитель как \(y^{6}\);
• \(x^{-9}\) в знаменателе → поднимается в числитель как \(x^{9}\).

\[ \frac{12\cdot y^{6}\cdot y\cdot x^{9}}{36\cdot x^{5}} \]

Шаг 2. Числа: \(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\).

Шаг 3. Буква \(x\): \(\dfrac{x^{9}}{x^{5}}=x^{9-5}=x^{4}\).

Шаг 4. Буква \(y\): \(y^{6}\cdot y^{1}=y^{6+1}=y^{7}\).

Ответ: \(\dfrac{x^{4}y^{7}}{3}\).

б) \(\dfrac{63a^{2}}{2b^{-5}}\cdot\dfrac{18b^{2}}{7a}\)

Шаг 1. Единственный минус — \(b^{-5}\) в знаменателе; поднимаем в числитель как \(b^{5}\):

\[ \frac{63a^{2}\cdot b^{5}\cdot 18b^{2}}{2\cdot 7\cdot a} \]

Шаг 2. Числа: \(\dfrac{63}{7}=9\), \(\dfrac{18}{2}=9\), значит \(9\cdot 9=81\). (Проще сокращать по частям, чем перемножать 1134 и 14.)

Шаг 3. Буква \(a\): \(\dfrac{a^{2}}{a^{1}}=a^{2-1}=a^{1}=a\).

Шаг 4. Буква \(b\): \(b^{5}\cdot b^{2}=b^{7}\).

Ответ: \(81ab^{7}\).

в) \(\dfrac{5x^{-1}y^{3}}{3}\cdot\dfrac{9x^{6}}{y^{-2}}\)

Шаг 1. \(x^{-1}\) из числителя → \(x^{1}\) в знаменатель; \(y^{-2}\) из знаменателя → \(y^{2}\) в числитель:

\[ \frac{5y^{3}\cdot 9x^{6}\cdot y^{2}}{3\cdot x} \]

Шаг 2. Числа: \(\dfrac{5\cdot 9}{3}=5\cdot 3=15\).

Шаг 3. Буква \(x\): \(\dfrac{x^{6}}{x^{1}}=x^{6-1}=x^{5}\).

Шаг 4. Буква \(y\): \(y^{3}\cdot y^{2}=y^{5}\).

Ответ: \(15x^{5}y^{5}\).

г) \(\dfrac{16p^{-1}q^{2}}{5}\cdot\dfrac{25p^{6}}{64q^{-8}}\)

Шаг 1. \(p^{-1}\) из числителя → \(p^{1}\) в знаменатель; \(q^{-8}\) из знаменателя → \(q^{8}\) в числитель:

\[ \frac{16q^{2}\cdot 25p^{6}\cdot q^{8}}{5\cdot 64\cdot p} \]

Шаг 2. Числа сокращаем крест-накрест: \(\dfrac{16}{64}=\dfrac{1}{4}\), а \(\dfrac{25}{5}=5\). Получаем \(\dfrac{5}{4}\).

Шаг 3. Буква \(p\): \(\dfrac{p^{6}}{p^{1}}=p^{5}\).

Шаг 4. Буква \(q\): \(q^{2}\cdot q^{8}=q^{10}\).

Ответ: \(\dfrac{5}{4}p^{5}q^{10}\).

Проверь себя

Реши по этому же порядку, ответы ниже:

1. \(\dfrac{x^{-3}}{y^{-2}}\cdot\dfrac{y}{x}\)
2. \(\dfrac{8a^{-2}b^{3}}{4}\cdot\dfrac{2}{a^{-1}}\)

1. \(y\); 2) \(4ab^{3}\).

Если сходится — принцип понят. Если нет — скажи, на каком шаге застряло, разберём именно его. Для № 1008 по-прежнему нужен отдельный чёткий снимок: в прошлом кадре видно только до № 1007.

№ 1005 — разбор «по-человечески»

Сначала — весь инструмент. Тебе нужны всего 3 правила

Правило 1. Что вообще значит показатель степени. \(a^{5}\) — это \(a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\). Показатель говорит, сколько букв перемножается.

Правило 2. Минус в показателе — это «переезд через дробную черту». \[ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^{n} \] Проверь на числах: \(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\). Минус не делает число отрицательным — он отправляет его на другую сторону дробной черты. При переезде знак показателя меняется на противоположный.

Правило 3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. \[ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \] Почему: \(\frac{a^{5}}{a^{2}}=\frac{aaaaa}{aa}=aaa=a^{3}\), то есть \(5-2\).

Вот и всё. Дальше — один и тот же приём для всех четырёх примеров.

---

Приём: «верх минус низ»

1. Собери все множители в один числитель и все в один знаменатель (умножение дробей — это \(\frac{\text{верх}\cdot\text{верх}}{\text{низ}\cdot\text{низ}}\)).
2. Для каждой буквы посчитай: показатель = (что стоит наверху) − (что стоит внизу). Минус внизу автоматически даёт плюс, потому что вычитание отрицательного — это прибавление.
3. Числа посчитай отдельно и сократи.
4. Если у буквы получился отрицательный показатель — она уходит в знаменатель.

а) \(\dfrac{12x^{-5}}{y^{-6}}\cdot\dfrac{y}{36x^{-9}}\)

Шаг 1. Собираем в одну дробь: \[ \frac{12\cdot x^{-5}\cdot y}{36\cdot x^{-9}\cdot y^{-6}} \]

Шаг 2. Считаем каждую букву по отдельности.

• Числа: \(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\).
• \(x\): наверху \(-5\), внизу \(-9\). Считаю: \(-5-(-9)=-5+9=4\). Значит \(x^{4}\) наверху.
• \(y\): наверху \(1\) (просто \(y\)), внизу \(-6\). Считаю: \(1-(-6)=1+6=7\). Значит \(y^{7}\) наверху.

Ответ: \(\dfrac{x^{4}y^{7}}{3}\)

Проверка логики на \(y\): \(y^{-6}\) в знаменателе — это то же, что \(y^{6}\) в числителе, а там уже был \(y^{1}\). Итого \(y^{1}\cdot y^{6}=y^{7}\). Совпало.

б) \(\dfrac{63a^{2}}{2b^{-5}}\cdot\dfrac{18b^{2}}{7a}\)

Шаг 1. \[ \frac{63\cdot a^{2}\cdot 18\cdot b^{2}}{2\cdot b^{-5}\cdot 7\cdot a} \]

Шаг 2.

• Числа: \(\frac{63\cdot 18}{2\cdot 7}=\frac{1134}{14}=81\). (Сокращай заранее: \(\frac{63}{7}=9\), \(\frac{18}{2}=9\), \(9\cdot 9=81\).)
• \(a\): \(2-1=1\), то есть просто \(a\).
• \(b\): \(2-(-5)=2+5=7\), то есть \(b^{7}\).

Ответ: \(81ab^{7}\)

в) \(\dfrac{5x^{-1}y^{3}}{3}\cdot\dfrac{9x^{6}}{y^{-2}}\)

Шаг 1. \[ \frac{5\cdot x^{-1}\cdot y^{3}\cdot 9\cdot x^{6}}{3\cdot y^{-2}} \]

Шаг 2.

• Числа: \(\frac{5\cdot 9}{3}=15\).
• \(x\): \(-1+6=5\) (две \(x\) оказались наверху, складываю), значит \(x^{5}\).
• \(y\): \(3-(-2)=3+2=5\), значит \(y^{5}\).

Ответ: \(15x^{5}y^{5}\)

г) \(\dfrac{16p^{-1}q^{2}}{5}\cdot\dfrac{25p^{6}}{64q^{-8}}\)

Шаг 1. \[ \frac{16\cdot p^{-1}\cdot q^{2}\cdot 25\cdot p^{6}}{5\cdot 64\cdot q^{-8}} \]

Шаг 2.

• Числа: \(\frac{16\cdot 25}{5\cdot 64}\). Сокращаю заранее: \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\), \(\frac{25}{5}=5\). Получаю \(\frac{1\cdot 5}{4}=\frac{5}{4}\). (То же самое, если считать «в лоб»: \(\frac{400}{320}=\frac{5}{4}\).)
• \(p\): \(-1+6=5\), значит \(p^{5}\).
• \(q\): \(2-(-8)=2+8=10\), значит \(q^{10}\).

Ответ: \(\dfrac{5}{4}p^{5}q^{10}\)

---

Три ошибки, из-за которых чаще всего теряют балл

1. Складывают разные буквы. \(x^{2}\cdot y^{3}\) — это \(x^{2}y^{3}\), а не \((xy)^{5}\). Показатели складываются только при одинаковом основании.
2. Считают, что минус в показателе «просто исчезает». Он исчезает только при переезде через черту. В примере в) \(x^{-1}\) и \(x^{6}\) стоят с одной стороны, поэтому работает сложение: \(-1+6=5\).
3. Путают, что на что делить. Всегда пиши «верх минус низ» именно в таком порядке: \(-5-(-9)\), а не \((-9)-(-5)\).

---

Проверь себя

Реши тем же приёмом:

\[ \frac{4a^{-3}b^{5}}{2a^{-6}}\cdot\frac{b^{-2}}{6} \]

Ответ: \(\dfrac{a^{3}b^{3}}{3}\). Числа: \(\frac{4}{2\cdot 6}=\frac{1}{3}\); \(a\): \(-3-(-6)=3\); \(b\): \(5+(-2)=3\).

Если сойдётся — тема закрыта, и любые похожие примеры ты сделаешь сам.

Для № 1008 по-прежнему нужен отдельный кадр: на снимке страница заканчивается на № 1007. Пришли фото — разберу так же подробно.

№ 1008 — короткие ответы

• а) \(27x^{3}y\)
• б) \(\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\) (то же, что \(20a^{6}b^{-2}\))
• в) \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\)
• г) \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\)

Что здесь добавляется к прошлому разбору

В № 1005 были только умножение и деление. Здесь появились скобки со степенью, поэтому нужны ещё три правила.

1. Степень произведения: \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\). Каждый множитель возводим отдельно.
2. Степень дроби: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\).
3. Степень степени: \((a^{m})^{n}=a^{mn}\). Показатели перемножаются.
4. И главное: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\) — минус в показателе переворачивает дробь. Это то же самое «правило переезда через черту», только сразу для всей дроби.

Плюс полезная мысль: \((2x^{2})^{3}=2^{3}\cdot x^{6}=8x^{6}\) — число тоже возводится в степень, а не остаётся двойкой.

а) \(\left(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}\cdot 12xy^{5}\)

Шаг 1. Минус в показателе переворачивает дробь: \[ \left(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}}\right)^{2} \]

Шаг 2. Упрощаю внутри: \(y^{-2}\) уходит вниз, \(x^{-1}\) поднимается наверх: \[ \frac{3x}{2y^{2}} \] Убедись: это просто \(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{y^{2}}{x}=\dfrac{2y^{2}}{3x}\), а перевёрнутое — \(\dfrac{3x}{2y^{2}}\). Совпало.

Шаг 3. Возвожу в квадрат: \(\dfrac{9x^{2}}{4y^{4}}\).

Шаг 4. Умножаю на \(12xy^{5}\): \[ \frac{9x^{2}}{4y^{4}}\cdot 12xy^{5}=\frac{9\cdot 12}{4}\,x^{2+1}y^{5-4}=27x^{3}y \]

Ответ: \(27x^{3}y\). Второй способ — сразу возводить в степень: \(2^{-2}x^{2}\) наверху, \(3^{-2}y^{4}\) внизу, то есть \(\dfrac{x^{2}/4}{y^{4}/9}=\dfrac{9x^{2}}{4y^{4}}\). Результат тот же.

б) \(4a^{7}b^{-1}\cdot\left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1}\)

Шаг 1. Переворачиваю скобку: \[ \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{ab} \]

Шаг 2. Умножаю: \[ 4a^{7}b^{-1}\cdot\frac{5}{ab}=\frac{20a^{7}b^{-1}}{ab}=\frac{20a^{7}}{ab\cdot b} \]

Шаг 3. Считаю буквы: \(a^{7-1}=a^{6}\), \(b^{-1-1}=b^{-2}\).

Ответ: \(20a^{6}b^{-2}=\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\).

в) \((2a^{-2}b^{3})^{2}\cdot\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6}\)

Шаг 1. Первая скобка, каждый множитель в квадрат: \[ 2^{2}\cdot a^{-2\cdot 2}\cdot b^{3\cdot 2}=4a^{-4}b^{6} \]

Шаг 2. Вторая скобка: переворачиваем и возводим в шестую: \[ \left(\frac{b}{a}\right)^{6}=\frac{b^{6}}{a^{6}} \]

Шаг 3. Перемножаю: \[ 4a^{-4}b^{6}\cdot\frac{b^{6}}{a^{6}}=4\cdot a^{-4-6}\cdot b^{6+6}=4a^{-10}b^{12} \]

Ответ: \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\).

г) \(\left(\dfrac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1}\cdot(x^{-1}y)^{3}\)

Шаг 1. Первая скобка переворачивается: \[ \frac{y^{3}}{2x^{2}} \]

Шаг 2. Вторая скобка: \[ x^{-3}y^{3} \]

Шаг 3. Перемножаю: \[ \frac{y^{3}}{2x^{2}}\cdot x^{-3}y^{3}=\frac{y^{3+3}}{2x^{2+3}}=\frac{y^{6}}{2x^{5}} \]

Ответ: \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\).

Проверка подстановкой

Беру \(x=1,\ y=2\) (пункты а и г) и \(a=1,\ b=2\) (б, в):

пункт	исходное выражение	ответ
а	\(\left(\frac{2}{3\cdot\frac14}\right)^{-2}\cdot 12\cdot 32=54\)	\(27\cdot 1\cdot 2=54\)
б	\(4\cdot\frac12\cdot\left(\frac25\right)^{-1}=2\cdot 2{,}5=5\)	\(\frac{20}{4}=5\)
в	\((2\cdot 8)^{2}\cdot\left(\frac12\right)^{-6}=256\cdot 64=16\,384\)	\(\frac{4\cdot 4096}{1}=16\,384\)
г	\(\left(\frac28\right)^{-1}\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32\)	\(\frac{64}{2}=32\)

Все четыре сошлись.

Где обычно теряют балл

1. Забывают возвести число в степень: пишут \((2a^{-2}b^{3})^{2}=2a^{-4}b^{6}\) вместо \(4a^{-4}b^{6}\).
2. Переворачивают не то: минус \(-2\) относится ко всей дроби, а не к \(x\) или к \(y\) по отдельности.
3. Складывают показатели вместо умножения в \((a^{m})^{n}\) — здесь именно \(m\cdot n\).
4. Теряют \(y^{5}\) в пункте а, когда после сокращения \(y^{4}\) внизу остаётся \(y^{1}\).

Скажи, какой пункт дался тяжелее — разберу его ещё раз на числовом примере, чтобы стало совсем наглядно.

№ 1008 — ответы

При \(x,y,a,b\ne 0\):

• а) \(27x^{3}y\)
• б) \(\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\)
• в) \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\)
• г) \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\)

Что здесь используется

\[ (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad (ab)^{n}=a^{n}b^{n} \]

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

То есть минус у всей дроби просто переворачивает дробь, а затем показатель становится положительным.

---

а) \(\left(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}\cdot 12xy^{5}\)

Сначала перевернём дробь из-за показателя \(-2\):

\[ \left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2} = \left(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}}\right)^{2} \]

Возводим в квадрат:

\[ =\frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} =\frac{9}{4}x^{2}y^{-4} \]

Теперь умножаем на \(12xy^{5}\):

\[ \frac{9}{4}x^{2}y^{-4}\cdot 12xy^{5} = 27x^{3}y \]

Ответ: \(27x^{3}y\).

---

б) \(4a^{7}b^{-1}\cdot\left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1}\)

Переворачиваем вторую дробь:

\[ \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{ab}=5a^{-1}b^{-1} \]

Умножаем:

\[ 4a^{7}b^{-1}\cdot 5a^{-1}b^{-1} = 20a^{6}b^{-2} \]

\[ b^{-2}=\frac{1}{b^{2}} \]

Ответ: \(\dfrac{20a^{6}}{b^{2}}\).

---

в) \((2a^{-2}b^{3})^{2}\cdot\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6}\)

Первая скобка:

\[ (2a^{-2}b^{3})^{2}=4a^{-4}b^{6} \]

Вторая скобка:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-6} = \left(\frac{b}{a}\right)^{6} = b^{6}a^{-6} \]

Перемножаем:

\[ 4a^{-4}b^{6}\cdot b^{6}a^{-6} = 4a^{-10}b^{12} \]

\[ a^{-10}=\frac{1}{a^{10}} \]

Ответ: \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\).

---

г) \(\left(\dfrac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1}\cdot(x^{-1}y)^{3}\)

Первая скобка:

\[ \left(\frac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1} = \frac{y^{3}}{2x^{2}} \]

Вторая скобка:

\[ (x^{-1}y)^{3}=x^{-3}y^{3} \]

Перемножаем:

\[ \frac{y^{3}}{2x^{2}}\cdot x^{-3}y^{3} = \frac{y^{6}}{2x^{5}} \]

Ответ: \(\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\).

---

Быстрая проверка

Подставим \(x=y=a=b=1\):

• а) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot 12=\frac{9}{4}\cdot 12=27\)
• б) \(4\cdot\left(\frac15\right)^{-1}=20\)
• в) \((2)^{2}\cdot 1=4\)
• г) \((2)^{-1}\cdot 1=\frac12\)

Все совпадает с ответами.

Главное правило для похожих заданий: сначала разберись со скобкой, потом перемножай; минус в показателе дроби — это переворот дроби.