1. Придумайте свой пример набора данных из 7 чисел, где среднее арифметическое и медиана будут равны.

Краткий ответ

1. Пример из 7 чисел: \(3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15\). Медиана \(=9\), среднее \(=\dfrac{3+5+7+9+11+13+15}{7}=\dfrac{63}{7}=9\). Равны.

2. Пример из 6 чисел: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 45\). Медиана \(=\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\), среднее \(=\dfrac{60}{6}=10\). Среднее почти втрое больше медианы.

3. Зарплаты в маленькой фирме: 9 сотрудников получают по 40 тыс. руб., директор — 400 тыс. руб. Среднее \(=\dfrac{9\cdot 40+400}{10}=76\) тыс. руб., медиана \(=40\) тыс. руб. Медиана честнее показывает типичную зарплату.

Как это устроено

Два разных «центра» ряда.

• Среднее арифметическое — сумма всех чисел, делённая на их количество. Оно «чувствует» каждое число, поэтому один большой выброс сильно тянет его вверх.
• Медиана — середина упорядоченного ряда. Если чисел нечётное количество, это центральное число; если чётное — среднее двух центральных. Величина крайних чисел на неё не влияет, важно лишь, сколько чисел стоит слева и справа.

Пункт 1: почему симметрия даёт равенство

Возьмите любое \(m\) и три пары чисел, симметричных относительно \(m\): \[ m-6,\ m-4,\ m-2,\ m,\ m+2,\ m+4,\ m+6. \] Каждая пара в сумме даёт \(2m\), пар три, значит сумма всех семи чисел \(=6m+m=7m\), а среднее \(=\dfrac{7m}{7}=m\). Медиана тоже \(m\) — это четвёртое число по порядку. В моём примере \(m=9\), пары: \(3\) и \(15\), \(5\) и \(13\), \(7\) и \(11\).

Проверка: \(63:7=9\) — сходится.

Пункт 2: почему среднее «убегает» вперёд

Медиана шести чисел — это среднее 3-го и 4-го чисел по порядку. В наборе \(1,2,3,4,5,45\) это \(3\) и \(4\), медиана \(3{,}5\). Число \(45\) стоит последним при любом своём размере — медиана его «не замечает». А в сумму оно входит целиком: без него сумма была бы \(15\), а с ним \(60\), то есть среднее выросло с \(2{,}5\) до \(10\).

Вывод: среднее заметно больше медианы тогда, когда в данных есть несколько очень больших значений (распределение «скошено вправо»). Если поменять \(45\) на \(1000\), медиана останется \(3{,}5\), а среднее станет \(169\) — медиана устойчива к выбросам, среднее нет.

Пункт 3: проверка «честности»

Среднее \(76\) тыс. руб. не описывает ни одного реального сотрудника: таких зарплат в фирме нет. Медиана \(40\) тыс. руб. — это зарплата половины коллектива, она показывает типичный доход. По той же причине медиану используют для цен на жильё (один особняк задирает среднее по улице), времени ожидания в очереди, результатов экзамена с несколькими «нулями».