96 □ На рисунке 54 OA=OD, OB=OC, ∠1=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите ∠ACD.

Краткий ответ: \(\angle ACD=110^\circ\).

Разбор

1. По рисунку \(A,O,D\) и \(B,O,C\) лежат на прямых, значит, \[ \angle AOB=\angle DOC \] как вертикальные углы.

2. В треугольниках \(AOB\) и \(DOC\): \[ OA=OD,\qquad OB=OC,\qquad \angle AOB=\angle DOC. \] Поэтому \(\triangle AOB=\triangle DOC\) по двум сторонам и углу между ними — первому признаку равенства треугольников.

3. В равных треугольниках соответствующие углы равны. Здесь \(B\leftrightarrow C\), поэтому \[ \angle ABO=\angle DCO. \] На рисунке \(\angle1=\angle ABO=74^\circ\), значит, \[ \angle DCO=74^\circ. \]

4. Луч \(CO\) проходит внутри угла \(ACD\), поэтому \[ \angle ACD=\angle ACO+\angle OCD. \] При этом \(\angle2=\angle ACO=36^\circ\), а \(\angle OCD=\angle DCO=74^\circ\) — это один и тот же угол при вершине \(C\).

Следовательно, \[ \angle ACD=36^\circ+74^\circ=110^\circ. \]

Проверка: \(36^\circ+74^\circ=110^\circ\), угол меньше \(180^\circ\), то есть полученный результат не противоречит рисунку.