11. Найдите значения выражений:

Как читать такие номера: каждая буква — это высказывание, у него значение 1 (истина) или 0 (ложь). Значение выражения считаем по действиям: скобки → отрицание \(\lnot\) → конъюнкция \(\land\) → дизъюнкция \(\lor\) → импликация \(\to\) и равносильность \(\leftrightarrow\).

Правила:

• \(\lnot A\): \(1\to0\), \(0\to1\);
• \(A\land B=1\) только при \(A=B=1\);
• \(A\lor B=0\) только при \(A=B=0\);
• \(A\to B=0\) только при \(A=1,\ B=0\);
• \(A\leftrightarrow B=1\), когда значения совпадают.

Полезные shortcuts: \(A\land0=0\), \(A\land1=A\), \(A\lor1=1\), \(A\lor0=A\).

Отсюда пункт 10: \(1\lor(A\land0)\). Сначала \(A\land0=0\) при любом \(A\), потом \(1\lor0=1\) — ответ 1. Так же разбираются остальные: где в итоге получился 0 (пункты 3 и 7), выражение целиком оказалось ложным.

Самих формул я сейчас перед собой не вижу — пришли фото ещё раз или запиши выражения, и я разберу каждый пункт по шагам.

Логика — это счёт на двух значениях: \(1\) (истина) и \(0\) (ложь). Всё задание — про то, чтобы подставлять 0 и 1 и считать выражение по правилам.

1. Пять операций и их таблицы

Словами:

• \(\lnot A\) («не \(A\)») — переворачивает значение;
• \(A\land B\) («и») — истинно только когда оба истинны;
• \(A\lor B\) («или») — ложно только когда оба ложны;
• \(A\to B\) («если… то») — ложно только при \(A=1,\ B=0\);
• \(A\leftrightarrow B\) («тогда и только тогда») — истинно, когда значения совпадают.

2. Порядок действий

Скобки → \(\lnot\) → \(\land\) → \(\lor\) → \(\to\) → \(\leftrightarrow\).

То есть отрицание делаем раньше «и», «и» раньше «или», а импликацию и равносильность — последними.

3. Хитрости, которые экономят время

\[ A\land 0=0,\quad A\land 1=A,\quad A\lor 1=1,\quad A\lor 0=A \] \[ A\land A=A,\quad A\lor A=A,\quad A\land\lnot A=0,\quad A\lor\lnot A=1 \] \[ \lnot\lnot A=A,\qquad A\to B=\lnot A\lor B \] \[ \lnot(A\land B)=\lnot A\lor\lnot B,\qquad \lnot(A\lor B)=\lnot A\land\lnot B \]

Если в выражении есть множитель \(A\land 0\), вся эта часть сразу \(0\); если есть слагаемое \(A\lor 1\), вся эта часть сразу \(1\).

4. Как решать по шагам

Пример: \(A=1,\ B=0\), найти \(\lnot(A\land B)\lor(A\to B)\).

1. \(A\land B=1\land0=0\)
2. \(\lnot 0=1\)
3. \(A\to B=1\to0=0\)
4. \(1\lor0=1\)

Ответ 1.

5. Почему в ответах были нули

Ноль получается только в двух случаях: всё выражение — конъюнкция, где хоть один множитель \(0\), либо импликация вида \(1\to0\). Поэтому пункты 3 и 7 дали \(0\), а остальные — \(1\) (там «спасало» либо \(A\lor1\), либо \(A\lor\lnot A\), либо совпадение значений в \(\leftrightarrow\)).

Чтобы разобрать каждый из 10 пунктов по шагам, мне нужны сами формулы — на фото я их сейчас не вижу. Пришли изображение ещё раз или запиши выражения, и я распишу каждое по действиям.