решить уравнение
Сверь числа и знаки с фото.
Карточка 2: Уравнения вариант №3
- \(x + 3 = -9x\)
- \(-4 + 7x = 8x + 1\)
- \(5(x + 9) = -8\)
- \((x + 9)^2 = (x + 6)^2\)
- \(x + \frac{x}{7} = -8\)
- \(\frac{6}{x + 5} = -5\)
- \((-x - 4)(3x + 3) = 0\)
- \(4x^2 - 16x = 0\)
- \(x^2 - 16 = 0\)
- \(3x^2 = 9x\)
- \(x^2 + 2x = 15\)
- \(x^2 - 12 = x\)
- \(2x^2 + 5x - 7 = 0\)
- \(x^2 - 9x + 18 = 0\)
На карточке 14 уравнений, поэтому ниже — ответы для всех.
| № | Уравнение | Корни |
|---|---|---|
| 1 | \(x+3=-9x\) | \(x=-\frac{3}{10}=-0{,}3\) |
| 2 | \(-4+7x=8x+1\) | \(x=-5\) |
| 3 | \(5(x+9)=-8\) | \(x=-\frac{53}{5}=-10{,}6\) |
| 4 | \((x+9)^2=(x+6)^2\) | \(x=-\frac{15}{2}=-7{,}5\) |
| 5 | \(x+\frac{x}{7}=-8\) | \(x=-7\) |
| 6 | \(\frac{6}{x+5}=-5\) | \(x=-\frac{31}{5}=-6{,}2\), \(x\ne -5\) |
| 7 | \((-x-4)(3x+3)=0\) | \(x=-4;\ -1\) |
| 8 | \(4x^2-16x=0\) | \(x=0;\ 4\) |
| 9 | \(x^2-16=0\) | \(x=-4;\ 4\) |
| 10 | \(3x^2=9x\) | \(x=0;\ 3\) |
| 11 | \(x^2+2x=15\) | \(x=-5;\ 3\) |
| 12 | \(x^2-12=x\) | \(x=-3;\ 4\) |
| 13 | \(2x^2+5x-7=0\) | \(x=-\frac{7}{2}=-3{,}5;\ 1\) |
| 14 | \(x^2-9x+18=0\) | \(x=3;\ 6\) |
Как рассуждать
Линейные уравнения — переносим \(x\) в одну сторону, числа в другую:
\(-4+7x=8x+1 \Rightarrow -x=5 \Rightarrow x=-5\).Произведение равно нулю — каждый множитель может быть нулём:
\((-x-4)(3x+3)=0 \Rightarrow x=-4\) или \(x=-1\).Нельзя сокращать на \(x\), если есть свободный член без \(x\):
\(3x^2=9x \Rightarrow 3x(x-3)=0\), поэтому корни \(0\) и \(3\). Корень \(0\) терять нельзя.Равные квадраты:
\((x+9)^2=(x+6)^2 \Rightarrow (x+9)^2-(x+6)^2=0\), далее разность квадратов даёт \(3(2x+15)=0\), откуда \(x=-7{,}5\).Квадратные уравнения решаем через разложение на множители или дискриминант:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad D=b^2-4ac. \] Например, в №13: \(D=25+56=81\), поэтому \(x=1\) и \(x=-3{,}5\).Дробное уравнение №6: \(x\ne -5\), затем умножаем обе части на \(x+5\):
\(6=-5(x+5)\), получаем \(x=-6{,}2\). Проверка: \(-6{,}2+5=-1{,}2\), а \(\frac{6}{-1{,}2}=-5\).
Проверка корней подстановкой в исходные уравнения подтверждает ответы.
Обсуждение
2 сообщенияКарточка 2, вариант №3. Ниже — все 14 уравнений с ответами и краткими пояснениями.
| № | Уравнение | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | \(x+3=-9x\) | \(x=-0{,}3\) |
| 2 | \(-4+7x=8x+1\) | \(x=-5\) |
| 3 | \(5(x+9)=-8\) | \(x=-10{,}6\) |
| 4 | \((x+9)^2=(x+6)^2\) | \(x=-7{,}5\) |
| 5 | \(x+\frac{x}{7}=-8\) | \(x=-7\) |
| 6 | \(\frac{6}{x+5}=-5\) | \(x=-6{,}2\) |
| 7 | \((-x-4)(3x+3)=0\) | \(x=-4;\ x=-1\) |
| 8 | \(4x^2-16x=0\) | \(x=0;\ x=4\) |
| 9 | \(x^2-16=0\) | \(x=-4;\ x=4\) |
| 10 | \(3x^2=9x\) | \(x=0;\ x=3\) |
| 11 | \(x^2+2x=15\) | \(x=-5;\ x=3\) |
| 12 | \(x^2-12=x\) | \(x=-3;\ x=4\) |
| 13 | \(2x^2+5x-7=0\) | \(x=-3{,}5;\ x=1\) |
| 14 | \(x^2-9x+18=0\) | \(x=3;\ x=6\) |
Ключевые шаги
\(x+3=-9x \Rightarrow 10x=-3 \Rightarrow x=-0{,}3\).
\(5x+45=-8 \Rightarrow 5x=-53 \Rightarrow x=-\frac{53}{5}=-10{,}6\).
Разность квадратов: \[ (x+9)^2-(x+6)^2=0 \Rightarrow 3(2x+15)=0 \Rightarrow x=-7{,}5. \]
Умножаем на 7: \[ 7x+x=-56 \Rightarrow 8x=-56 \Rightarrow x=-7. \]
ОДЗ: \(x\ne -5\). Тогда \[ 6=-5(x+5) \Rightarrow 5x=-31 \Rightarrow x=-6{,}2. \]
Произведение равно нулю: \[ -x-4=0 \Rightarrow x=-4,\qquad 3x+3=0 \Rightarrow x=-1. \]
Нельзя сокращать на \(x\), иначе потеряется корень: \[ 3x^2-9x=0 \Rightarrow 3x(x-3)=0 \Rightarrow x=0;\ x=3. \]
Дискриминант: \[ D=25+56=81,\quad x=\frac{-5\pm 9}{4}. \] Отсюда \(x=1\) и \(x=-3{,}5\).
По теореме Виета: сумма корней \(9\), произведение \(18\), значит \(x=3\) и \(x=6\).
Все корни я проверил подстановкой — они подходят.
