1. На рисунке даны два вектора. Постройте вектор d = -2x + 0,5y используя правило треугольника.

Краткий ответ

1. \(\vec d=-2\vec x+0{,}5\vec y\) строится «цепочкой»: сначала вектор, противоположный \(\vec x\) и вдвое длиннее, затем из его конца — половина \(\vec y\). Замыкающая сторона треугольника и есть \(\vec d\) (он направлен вниз и немного влево).
2. Средняя линия трапеции равна \(4\) см.

Задача 1. Построение \(\vec d=-2\vec x+0{,}5\vec y\)

Принцип — правило треугольника: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Векторы откладываем друг за другом, сумма соединяет начало первого с концом второго.

1. Отмечаем на клетчатом поле точку \(A\).
2. Откладываем \(\overrightarrow{AB}=-2\vec x\): направление противоположно \(\vec x\) (то есть вниз-влево), длина \(2|\vec x|\) — два отрезка \(\vec x\), снятых линейкой.
3. Из точки \(B\) откладываем \(\overrightarrow{BC}=0{,}5\vec y\): направление как у \(\vec y\) (вниз-вправо), длина вдвое меньше \(|\vec y|\).
4. Соединяем \(A\) и \(C\): \(\overrightarrow{AC}=\vec d\).

Почему так: коэффициент \(-2\) меняет направление на противоположное и растягивает длину в 2 раза; коэффициент \(0{,}5\) направление сохраняет, а длину уменьшает вдвое.

Проверка: из конца вектора \(0{,}5\vec y\) к концу \(\vec d\) идёт вектор, равный \(-2\vec x\) (треугольник замыкается), значит \(\vec d-0{,}5\vec y=-2\vec x\), то есть \(\vec d=-2\vec x+0{,}5\vec y\). ✔

Задача 2. Трапеция

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AD>BC\), \(AB=CD\), высота \(h=4\) см, диагональ \(AC\) образует с большим основанием \(AD\) угол \(45^\circ\). Найти: среднюю линию \(m\).

Решение по шагам

1. Опускаем высоту \(CH\perp AD\), точка \(H\) лежит на \(AD\). Тогда \(CH=4\) см.
2. Рассмотрим \(\triangle ACH\): он прямоугольный, \(\angle CAH=45^\circ\), значит и \(\angle ACH=45^\circ\) — треугольник равнобедренный: \[ AH=CH=4\ \text{см}. \]
3. В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон равны: \[ HD=\frac{AD-BC}{2}. \]
4. Тогда \[ AH=AD-HD=AD-\frac{AD-BC}{2}=\frac{AD+BC}{2}. \] А \(\dfrac{AD+BC}{2}\) — это ровно средняя линия \(m\).
5. Значит \(m=AH=4\) см.

Ответ: \(4\) см.

Проверка: пусть \(AD=6\), \(BC=2\), \(h=4\). Тогда \(HD=\frac{6-2}{2}=2\), \(AH=4=CH\), угол действительно \(45^\circ\), а средняя линия \(\frac{6+2}{2}=4\) см. Сходится. ✔

Главная идея для похожих задач: в равнобедренной трапеции расстояние от вершины большого основания до основания высоты, опущенной из противоположной вершины, равно полусумме оснований, то есть средней линии. Поэтому высота и угол диагонали сразу дают ответ: \(m=\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}\) (при \(\alpha=45^\circ\) это \(m=h\)).