реши задачу 481

Разберём эту задачу по шагам — с обоснованием каждого перехода.

1. Обозначения и что дано

Пусть трапеция \(ABCD\) прямоугольная, причём

\[ AD\parallel BC,\qquad AD>BC,\qquad AB\perp AD. \]

Тогда \(AB\) — высота трапеции, \(BC\) — меньшее основание, \(AD\) — большее основание, \(CD\) — наклонная боковая сторона.

Больший угол трапеции равен \(135^\circ\). В прямоугольной трапеции два угла при высоте прямые: \(\angle A=\angle B=90^\circ\). Из оставшихся двух углов один острый, другой тупой. Тупой — это \(\angle BCD=135^\circ\), значит, острый угол при большем основании:

\[ \angle CDA=180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]

Это следует из того, что \(BC\parallel AD\), а \(CD\) — секущая, поэтому внутренние односторонние углы при ней в сумме дают \(180^\circ\).

2. Какие две стороны — меньшие

Нужно понять, почему именно \(AB\) и \(BC\) равны по \(6\) см.

• \(CD\) — наклонная боковая сторона. Если опустить высоту из \(C\), то \(CD\) окажется гипотенузой прямоугольного треугольника, а \(AB\) — его катетом. Поэтому

\[ CD>AB. \]

• Большее основание больше меньшего:

\[ AD>BC. \]

• Кроме того, из-за угла \(45^\circ\) (это станет видно ниже) выполняется \(AD=BC+AB\), поэтому \(AD>AB\).

Значит, две самые маленькие стороны трапеции — это высота \(AB\) и меньшее основание \(BC\). По условию они равны \(6\) см:

\[ AB=BC=6\ \text{см}. \]

3. Дополнительное построение

Опустим из точки \(C\) высоту \(CK\) на большее основание \(AD\).

Получим прямоугольник \(ABCK\): у него \(AB\parallel CK\) (обе перпендикулярны \(AD\)) и \(BC\parallel AK\). Поэтому противоположные стороны равны:

\[ AK=BC=6\ \text{см},\qquad CK=AB=6\ \text{см}. \]

4. Прямоугольный треугольник \(CKD\)

Рассмотрим треугольник \(CKD\). Он прямоугольный, так как \(CK\perp AD\), то есть \(\angle CKD=90^\circ\).

Угол при вершине \(D\) равен \(45^\circ\). Сумма углов треугольника:

\[ \angle KCD=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]

Значит, углы при вершинах \(C\) и \(D\) равны, и треугольник \(CKD\) равнобедренный:

\[ KD=CK=6\ \text{см}. \]

5. Находим основания

Большее основание состоит из двух частей:

\[ AD=AK+KD=6+6=12\ \text{см}. \]

Меньшее основание уже известно:

\[ BC=6\ \text{см}. \]

6. Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot AB. \]

Подставляем числа:

\[ S=\frac{6+12}{2}\cdot 6=9\cdot 6=54\ \text{см}^2. \]

7. Проверка

Разобьём трапецию на прямоугольник \(ABCK\) и треугольник \(CKD\):

\[ S=6\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=36+18=54\ \text{см}^2. \]

Стороны трапеции получаются \(6\), \(6\), \(6\sqrt2\), \(12\), а углы — \(90^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), \(45^\circ\). Всё согласуется с условием.

Ответ: \(54\ \text{см}^2\).

Вот прямоугольная трапеция с размерами из задачи. Масштаб: 1 клетка = 1 см.

B(0;6) ─────── C(6;6)
│                ╲
│                 ╲
│                  ╲
│                   ╲
A(0;0) ─────────────── D(12;0)

Размеры и углы:

• \(AB=6\) см — высота;
• \(BC=6\) см — меньшее основание;
• \(AD=12\) см — большее основание;
• \(CD=6\sqrt{2}\) см — наклонная боковая сторона;
• \(\angle A=\angle B=90^\circ\);
• \(\angle C=135^\circ\);
• \(\angle D=45^\circ\).

Как построить по клеткам:

1. Поставь точку \(A\). Вправо от неё отсчитай \(12\) клеток — получишь точку \(D\).
2. Вверх от \(A\) отсчитай \(6\) клеток — точка \(B\). Вправо от \(B\) отсчитай \(6\) клеток — точка \(C\).
3. Соедини последовательно \(B\) с \(C\), \(C\) с \(D\), \(D\) с \(A\).
4. Отрезок \(CD\) пройдёт ровно по диагонали квадрата \(6\times6\), поэтому \(\angle D=45^\circ\), а \(\angle C=135^\circ\).

Такой чертёж сразу показывает, почему большее основание равно \(12\): оно состоит из \(AK=6\) и \(KD=6\), где \(CK\) — высота, опущенная из \(C\).