20 Решите систему уравнений {5x² − 2y² = 2, 15x² − 6y² = −2y}

На фото несколько номеров; ниже — решение хорошо читаемого задания 20.

Краткий ответ: \[ (-2;-3),\quad (2;-3) \]

Как решать:

\[ \begin{cases} 5x^{2}-2y^{2}=2,\\ 15x^{2}-6y^{2}=-2y \end{cases} \]

1. Заметим, что левая часть второго уравнения в 3 раза больше левой части первого: \[ 15x^{2}-6y^{2}=3(5x^{2}-2y^{2}). \]

2. По первому уравнению \(5x^{2}-2y^{2}=2\), поэтому \[ 15x^{2}-6y^{2}=3\cdot 2=6. \]

3. Сравниваем со вторым уравнением: \[ 6=-2y \quad\Rightarrow\quad y=-3. \]

4. Подставляем \(y=-3\) в первое уравнение: \[ 5x^{2}-2\cdot(-3)^{2}=2, \] \[ 5x^{2}-18=2, \] \[ 5x^{2}=20, \] \[ x^{2}=4, \] \[ x=\pm 2. \]

Получаем две пары: \[ (2;-3),\quad (-2;-3). \]

Проверка: при \(x=\pm2,\ y=-3\): \[ 5x^{2}-2y^{2}=20-18=2, \] \[ 15x^{2}-6y^{2}=60-54=6=-2y. \]