номер 2.152
Сверь числа и знаки с фото.
2.152 Расположите в порядке возрастания дроби: а) \(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{12}\); б) \(\frac{25}{28}, \frac{53}{56}, \frac{7}{8}, \frac{13}{14}\).
Краткий ответ
а) \(\frac{2}{3}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}<\frac{11}{12}\);
б) \(\frac{7}{8}<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}\).
Как рассуждать
Дроби с одинаковым знаменателем сравнивают по числителям: чем больше числитель, тем больше дробь. Поэтому удобно привести все дроби к общему знаменателю.
а) Общий знаменатель — \(36\):
\[ \frac{2}{3}=\frac{24}{36},\quad \frac{5}{6}=\frac{30}{36},\quad \frac{7}{9}=\frac{28}{36},\quad \frac{11}{12}=\frac{33}{36}. \]
Числители: \(24, 30, 28, 33\). В порядке возрастания:
\[ 24<28<30<33, \]
значит:
\[ \frac{2}{3}<\frac{7}{9}<\frac{5}{6}<\frac{11}{12}. \]
б) Общий знаменатель — \(56\):
\[ \frac{25}{28}=\frac{50}{56},\quad \frac{53}{56},\quad \frac{7}{8}=\frac{49}{56},\quad \frac{13}{14}=\frac{52}{56}. \]
Числители: \(49, 50, 52, 53\), поэтому:
\[ \frac{7}{8}<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]
Проверка по десятичным значениям подтверждает порядок: например, \(\frac{7}{8}=0{,}875\), а \(\frac{25}{28}\approx0{,}893\).
Обсуждение
2 сообщенияА можно сравнивать без общего знаменателя?
Да, общий знаменатель — не обязателен. Это просто удобный способ. Есть несколько более быстрых приёмов.
1. Умножение «крест-накрест»
Для положительных дробей
\[ \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad ad<bc. \]
То есть сравниваем произведения: числитель первой на знаменатель второй и наоборот.
Например, сравним \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{7}{9}\):
\[ 2\cdot 9=18,\qquad 7\cdot 3=21. \]
Так как \(18<21\), получаем:
\[ \frac{2}{3}<\frac{7}{9}. \]
2. Сравнение с единицей
Если дробь близка к \(1\), удобно смотреть, сколько ей «не хватает» до \(1\):
\[ \frac{5}{6}=1-\frac{1}{6},\qquad \frac{11}{12}=1-\frac{1}{12}. \]
У \(\frac{5}{6}\) недостаёт больше, значит она меньше:
\[ \frac{5}{6}<\frac{11}{12}. \]
Для задания б) это особенно удобно:
\[ \frac{7}{8}=1-\frac{1}{8},\quad \frac{25}{28}=1-\frac{3}{28},\quad \frac{13}{14}=1-\frac{1}{14},\quad \frac{53}{56}=1-\frac{3}{56}. \]
Чем больше «недостача», тем меньше дробь. Поэтому:
\[ \frac{7}{8}<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]
3. Сравнение с \(\frac12\), \(1\) или другим удобным числом
Например, если одна дробь меньше \(\frac12\), а другая больше, то их уже не нужно приводить к общему знаменателю.
Вывод
Сравнивать без общего знаменателя можно:
- умножением крест-накрест;
- через дополнение до \(1\);
- через сравнение с удобными числами;
- иногда по десятичным приближениям, но точные приёмы надёжнее.
Общий знаменатель просто делает сравнение наглядным, особенно когда дробей много.
