1008. Преобразуйте выражение:

Коротко: ответы те же, но сейчас разберём медленнее — с «переводом» всех отрицательных степеней в положительные. Это самый надёжный способ не запутаться.

Шпаргалка: 4 правила

1. Отрицательная степень — это дробь: \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^{n}. \] Проще говоря: минус в показателе перебрасывает множитель через черту дроби (сверху вниз или снизу вверх), а сам минус при этом исчезает.

2. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).

3. Степень степени — показатели перемножаются: \((a^m)^n=a^{mn}\).

4. Минус на всей дроби переворачивает её: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}. \]

Дальше везде считаем \(a,b,x,y\neq 0\) — иначе дроби и отрицательные степени не имеют смысла.

а) \(\left(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}\cdot 12xy^5\)

Шаг 1. Минус на дроби — переворачиваем её: \[ \left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}=\left(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}}\right)^{2}. \]

Шаг 2. Теперь показатель положительный, возводим числитель и знаменатель: \[ (3y^{-2})^2=3^2\cdot (y^{-2})^2=9y^{-4}, \] \[ (2x^{-1})^2=2^2\cdot (x^{-1})^2=4x^{-2}. \] Получили \(\dfrac{9y^{-4}}{4x^{-2}}\).

Шаг 3. Убираем минусы: \(y^{-4}\) уходит вниз как \(y^{4}\), а \(x^{-2}\) из знаменателя поднимается наверх как \(x^{2}\): \[ \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}}=\frac{9x^2}{4y^4}. \]

Шаг 4. Умножаем на \(12xy^5\): \[ \frac{9x^2}{4y^4}\cdot 12xy^5=\frac{9\cdot 12}{4}\cdot x^{2+1}\cdot y^{5-4}=27x^3y. \]

Здесь \(y^5\) сократилось с \(y^4\): сверху осталась первая степень, поэтому \(y\), а не \(y^9\) и не \(\frac{1}{y}\).

Ответ: \(27x^3y\).

б) \(4a^7b^{-1}\cdot\left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1}\)

Шаг 1. Сначала скобка. Здесь минус первой степени — это просто «перевернуть»: \[ \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{ab}. \] Проверка смысла: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{2}\) — да, работает так же.

Шаг 2. Второй множитель тоже перепишем дробью, чтобы минус не мешал: \[ 4a^7b^{-1}=\frac{4a^7}{b}. \]

Шаг 3. Перемножаем: \[ \frac{4a^7}{b}\cdot\frac{5}{ab}=\frac{20a^7}{ab^2}. \]

Шаг 4. Сокращаем \(a\): \[ \frac{20a^7}{ab^2}=\frac{20a^6}{b^2}. \]

Ответ: \(\dfrac{20a^6}{b^2}\).

в) \((2a^{-2}b^3)^2\cdot\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6}\)

Шаг 1. Первая скобка — степень произведения, возводим каждый множитель: \[ (2a^{-2}b^3)^2=2^2\cdot (a^{-2})^2\cdot (b^3)^2=4a^{-4}b^6. \]

Шаг 2. Вторая скобка с минусом — переворачиваем: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-6}=\left(\frac{b}{a}\right)^{6}=\frac{b^6}{a^6}. \]

Шаг 3. Переписываем первый результат без минуса: \(4a^{-4}b^6=\dfrac{4b^6}{a^4}\).

Шаг 4. Умножаем: \[ \frac{4b^6}{a^4}\cdot\frac{b^6}{a^6}=\frac{4b^{6+6}}{a^{4+6}}=\frac{4b^{12}}{a^{10}}. \]

Ответ: \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\).

г) \(\left(\dfrac{2x^2}{y^3}\right)^{-1}\cdot(x^{-1}y)^3\)

Шаг 1. Минус первой степени переворачивает дробь: \[ \left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^{-1}=\frac{y^3}{2x^2}. \]

Шаг 2. Вторая скобка — степень произведения: \[ (x^{-1}y)^3=(x^{-1})^3\cdot y^3=x^{-3}y^3=\frac{y^3}{x^3}. \]

Шаг 3. Умножаем: \[ \frac{y^3}{2x^2}\cdot\frac{y^3}{x^3}=\frac{y^{3+3}}{2x^{2+3}}=\frac{y^6}{2x^5}. \]

Ответ: \(\dfrac{y^6}{2x^5}\).

Как проверять себя

• Показатели при умножении складываются, а не перемножаются. Перемножение бывает только в «степени степени».
• Минус в ответе остаться не должен. Если остался — значит, какой-то множитель не перебросили через черту.
• Проверка подстановкой: возьмите \(a=b=x=y=1\). Тогда а) \(27\), б) \(20\), в) \(4\), г) \(\frac12\). У меня всё сошлось.

Если хотите, назовите одно из заданий — решу похожий пример вместе с вами по шагам, чтобы закрепить правило про переворот дроби.