сделай номер 104 и 105

Кратко: все шесть графиков — параболы. Вершины и нули:

• 104а: вершина \((6;-8)\), ветви вверх, нули \(x=6\pm2\sqrt6\);
• 104б: вершина \((2;0)\), ветви вниз, единственный нуль \(x=2\);
• 104в: вершина \((-1{,}5;-2{,}25)\), ветви вверх, нули \(-3\) и \(0\);
• 105а: вершина \((0;5)\), ветви вниз, нули \(x=\pm\sqrt{10}\);
• 105б: вершина \((2;-4)\), ветви вверх, нули \(0\) и \(4\);
• 105в: вершина \((3;0)\), ветви вниз, единственный нуль \(x=3\).

Общий приём для \(y=ax^2+bx+c\):

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]

Вершина — это точка \((x_0;y_0)\), ось симметрии — прямая \(x=x_0\). Если \(a>0\), ветви вверх, если \(a<0\) — вниз. Нули находим из уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

№ 104

а) \(y=\frac13x^2-4x+4\)

• Ветви вверх, так как \(a=\frac13>0\).
• Вершина: \(x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot \frac13}=6\), \(y_0=-8\). Точка \((6;-8)\), ось \(x=6\).
• Нули: \(x=6\pm2\sqrt6\) — примерно \(1{,}10\) и \(10{,}90\); \(y(0)=4\).
• Точки для графика: \((0;4)\), \((3;-5)\), \((6;-8)\), \((9;-5)\), \((12;4)\).

Свойства:
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-8;+\infty)\);
\(y<0\) при \(6-2\sqrt6<x<6+2\sqrt6\), \(y>0\) вне этого промежутка;
убывает на \((-\infty;6]\), возрастает на \([6;+\infty)\);
\(y_{\min}=-8\), наибольшего значения нет.

б) \(y=-\frac14x^2+x-1\)

• \(y=-\frac14(x-2)^2\), поэтому ветви вниз.
• Вершина: \((2;0)\), ось \(x=2\).
• Единственный нуль: \(x=2\); \(y(0)=-1\).
• Точки для графика: \((0;-1)\), \((2;0)\), \((4;-1)\); можно взять ещё \((-2;-4)\) и \((6;-4)\).

Свойства:
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;0]\);
\(y<0\) при \(x\ne2\), \(y=0\) только при \(x=2\);
возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\);
\(y_{\max}=0\), наименьшего значения нет.

в) \(y=x^2+3x\)

• \(y=x(x+3)\), ветви вверх.
• Вершина: \(\left(-\frac32;-\frac94\right)=(-1{,}5;-2{,}25)\), ось \(x=-1{,}5\).
• Нули: \(x=-3\) и \(x=0\); \(y(0)=0\).
• Точки для графика: \((-3;0)\), \((-2;-2)\), \((-1{,}5;-2{,}25)\), \((-1;-2)\), \((0;0)\).

Свойства:
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\left[-\frac94;+\infty\right)\);
\(y>0\) при \(x<-3\) или \(x>0\), \(y<0\) при \(-3<x<0\);
убывает на \((-\infty;-1{,}5]\), возрастает на \([-1{,}5;+\infty)\);
\(y_{\min}=-2{,}25\), наибольшего значения нет.

№ 105

а) \(y=-\frac12x^2+5\)

Ветви вниз, вершина \((0;5)\), ось \(x=0\).
Нули: \(x=\pm\sqrt{10}\) (примерно \(\pm3{,}16\)).
Точки для построения: \((-4;-3)\), \((-2;3)\), \((0;5)\), \((2;3)\), \((4;-3)\).

б) \(y=x^2-4x=(x-2)^2-4\)

Ветви вверх, вершина \((2;-4)\), ось \(x=2\).
Нули: \(x=0\) и \(x=4\).
Точки: \((0;0)\), \((1;-3)\), \((2;-4)\), \((3;-3)\), \((4;0)\).

в) \(y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2\)

Ветви вниз, вершина \((3;0)\), ось \(x=3\).
График касается оси \(Ox\) в точке \(x=3\), других нулей нет.
Точки: \((0;-9)\), \((1;-4)\), \((2;-1)\), \((3;0)\), \((4;-1)\), \((5;-4)\), \((6;-9)\).

Проверка: у 104б выражение равно \(-\frac14(x-2)^2\le0\), поэтому \((2;0)\) — максимум. У 105в выражение равно \(-(x-3)^2\le0\), поэтому \((3;0)\) — вершина и точка касания оси.