Задание 17. Луч OC делит угол AOB на два угла, один из которых на 90° больше другого. Найдите эти углы, если угол AOB равен: а) 120°; б) 170°; в) 180°.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Задание 17. Луч OC делит угол AOB на два угла, один из которых на 90° больше другого. Найдите эти углы, если угол AOB равен: а) 120°; б) 170°; в) 180°.
Задание 18. ∠MOK = 45°. Найдите остальные углы.
[Рисунок: две прямые пересекаются в точке O; концы обозначены: D — вверху слева, M — вверху справа, C — внизу слева, K — внизу справа.]
Задание 19. Луч OC проходит между сторонами ∠AOB, равного 150°. Найдите ∠AOC, если ∠AOC больше ∠COB в 2 раза.
[Рисунок: из точки O выходят лучи OA (вверх-влево), OD (вверх, правее OA), OC (вправо-вверх), OB (вправо, почти горизонтально).]

Answer

Краткие ответы

№ 17. а) $15^\circ$ и $105^\circ$; б) $40^\circ$ и $130^\circ$; в) $45^\circ$ и $135^\circ$.

№ 18. $\angle DOC=45^\circ$, $\angle COK=135^\circ$, $\angle MOD=135^\circ$.

№ 19. $\angle AOC=100^\circ$, $\angle COB=50^\circ$.

№ 17. Принцип: целое = сумма частей

Обозначаем меньший угол за $x$, тогда второй равен $x+90^\circ$. Их сумма — весь угол:

$$
x+(x+90^\circ)=\angle AOB \quad\Rightarrow\quad 2x+90^\circ=\angle AOB
$$

а) $2x=120^\circ-90^\circ=30^\circ$, значит $x=15^\circ$, второй угол $15^\circ+90^\circ=105^\circ$.

б) $2x=170^\circ-90^\circ=80^\circ$, значит $x=40^\circ$, второй угол $130^\circ$.

в) $2x=180^\circ-90^\circ=90^\circ$, значит $x=45^\circ$, второй угол $135^\circ$.

Проверка: $15+105=120$, $40+130=170$, $45+135=180$ — суммы сходятся, и во всех случаях разность равна $90^\circ$.

№ 18. Принцип: пересекающиеся прямые

Две прямые при пересечении дают четыре угла: вертикальные равны, а смежные в сумме дают $180^\circ$ (они опираются на развёрнутый угол).

$\angle MOK$ и $\angle DOC$ — вертикальные, поэтому $\angle DOC=45^\circ$;

$\angle COK$ смежный с $\angle MOK$: $\angle COK=180^\circ-45^\circ=135^\circ$;

$\angle MOD$ смежный с $\angle MOK$: $\angle MOD=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

Проверка: $45^\circ+135^\circ+45^\circ+135^\circ=360^\circ$ — полный оборот.

№ 19. Принцип: части и отношение

Луч $OC$ делит угол на две части, значит $\angle AOC+\angle COB=150^\circ$. Удобно взять меньшую часть за $x$:

$$
\angle COB=x,\qquad \angle AOC=2x
$$
$$
x+2x=150^\circ \;\Rightarrow\; 3x=150^\circ \;\Rightarrow\; x=50^\circ
$$

Тогда $\angle COB=50^\circ$, а $\angle AOC=2\cdot 50^\circ=100^\circ$.

Проверка: $100^\circ+50^\circ=150^\circ$ и $100^\circ$ действительно в 2 раза больше $50^\circ$. (Луч $OD$ на рисунке в условии не участвует — он для этого задания не нужен.)