20. Решите систему уравнений: 5x²−2y²=2, 15x²−6y²=−2y.

Краткий ответ: \((-2;-3)\) и \((2;-3)\).

Как решать

В левой части второго уравнения стоит утроенная левая часть первого: \[ 15x^2-6y^2=3(5x^2-2y^2). \]

Из первого уравнения \(5x^2-2y^2=2\), поэтому \[ 15x^2-6y^2=3\cdot 2=6. \]

Но по второму уравнению это же выражение равно \(-2y\), значит: \[ 6=-2y \quad\Rightarrow\quad y=-3. \]

Подставляем \(y=-3\) в первое уравнение: \[ 5x^2-2\cdot(-3)^2=2, \] \[ 5x^2-18=2, \] \[ 5x^2=20, \] \[ x^2=4, \] \[ x=\pm 2. \]

Получаем пары: \[ (-2;-3),\qquad (2;-3). \]

Проверка: при \(x=\pm2,\ y=-3\): \[ 5x^2-2y^2=5\cdot4-2\cdot9=20-18=2, \] \[ 15x^2-6y^2=60-54=6=-2\cdot(-3). \]

Всё сходится.