240. Не решая уравнения 7(2x + 1) = 13, докажите, что его корень не является целым числом.

На фото выделено задание 240 — его и разбираю.

Краткий ответ. Корень уравнения не может быть целым: при целом \(x\) левая часть кратна \(7\), а число \(13\) на \(7\) не делится.

Доказательство.

1. Уравнение линейное, значит, у него есть единственный корень. Нам нужно показать только, что он не целый.
2. Предположим противное: пусть \(x\) — целое число.
3. Тогда \(2x+1\) — тоже целое число, а значит, \[ 7(2x+1) \] делится на \(7\) без остатка.
4. По уравнению это же число равно \(13\). Получается, что \(13\) должно делиться на \(7\). Но \[ 13=7\cdot1+6, \] то есть \(13\) не делится на \(7\). Противоречие.
5. Значит, наше предположение неверно: целого корня нет, поэтому корень уравнения не является целым числом. \(\blacksquare\)

Принцип: чтобы доказать, что корень не целый, иногда достаточно предположить, что он целый, и получить противоречие с делимостью.