1194. Вычислите:

Краткий ответ:
а) \(5\); б) \(3\); в) \(4\); г) \(25\); д) \(64\); е) \(0{,}001\).

Как решать. При одинаковых основаниях:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

Отрицательная степень означает обратную величину:

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]

Поэтому минус в показателе не делает число отрицательным — он «переворачивает» число.

Решение по пунктам:

1. а) \(5^{-15}\cdot 5^{16}=5^{-15+16}=5^1=5\).

2. б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^{-4+3}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3\).

3. в) \(4^{-8}:4^{-9}=4^{-8-(-9)}=4^1=4\).

4. г) \(\left(\frac{1}{5}\right)^2:\left(\frac{1}{5}\right)^4=\left(\frac{1}{5}\right)^{2-4}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}=5^2=25\).

5. д) \(\left(2^{-2}\right)^{-3}=2^{(-2)\cdot(-3)}=2^6=64\).

6. е) \(\left(0{,}1^{-3}\right)^{-1}=0{,}1^{(-3)\cdot(-1)}=0{,}1^3=0{,}001\).

Проверка: в пунктах б) и г) действительно получаются обратные дроби: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3\), а \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}=25\). В остальных примерах достаточно было сложить, вычесть или перемножить показатели.