1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) 3/5; 2) 4/9
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Пункт 62
- Постройте угол, косинус которого равен: 1) \(\frac{3}{5}\); 2) \(\frac{4}{9}\); 3) 0[обрезано]
- 0,8.
Пункт 63 2. У прямоугольного треугольника заданы катеты \(a\) и \(b\). Найдите гипотенузу, если: 1) \(a=3\), \(b=4\); 2) \(a=1\), \(b=1\); 3) \(a=[обрезано]\), \(b=6\). 3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза \(c\) и катет \(a\). Найдите второй катет, если: 1) \(c=5\), \(a=3\); 2) \(c=[обрезано]\), \(a=5\); 3) \(c=6\), \(a=5\). 4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и [обрезано]. Найдите третью сторону. (Рассмотрите два случая.)
На фото обведены задачи 1–4; вопросы 9–14 — отдельные теоретические задания. Несколько чисел у края снимка обрезаны, поэтому в спорных местах я указал, какие значения взял.
Коротко: №2 — \(5,\ \sqrt{2},\ \sqrt{61}\); №3 — \(4,\ 12,\ \sqrt{11}\); №4 — \(5\) м или \(\sqrt{7}\) м. В №1 нужное построение делается через прямоугольный треугольник.
№1. Угол по косинусу
Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Если \(\cos\alpha=\frac{m}{n}\), строим так:
- Откладываем \(AB=m\).
- В точке \(B\) восстанавливаем перпендикуляр.
- Радиусом \(n\) с центром в \(A\) делаем засечку \(C\).
- Угол \(\angle BAC\) — искомый, потому что \[ \cos\angle BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}. \]
Масштаб можно брать любой: важно только отношение сторон.
Для пунктов:
- \(m=3,\ n=5\);
- \(m=4,\ n=9\);
- после нуля на фото цифра срезана: если там \(0{,}6\), то \(m=3,\ n=5\); если \(0{,}5\), то \(m=1,\ n=2\);
- \(0{,}8=\frac45\), поэтому \(m=4,\ n=5\).
№2. Найти гипотенузу
По теореме Пифагора: \[ c^2=a^2+b^2,\qquad c=\sqrt{a^2+b^2}. \]
\(c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
\(c=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).
В условии видно \(b=6\), а \(a\) срезано. Если \(a=5\): \[ c=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}. \] Если в книге \(a=8\), то \(c=\sqrt{8^2+6^2}=10\).
№3. Найти второй катет
Если известна гипотенуза \(c\) и катет \(a\), то \[ b=\sqrt{c^2-a^2}. \]
\(b=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).
Если \(c=13,\ a=5\): \[ b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12. \]
\(b=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\).
№4. Две стороны равны 3 м и 4 м
Вторая сторона на фото обрезана; если она равна \(4\) м, возможны два случая.
Случай 1: 3 м и 4 м — катеты. Тогда третья сторона — гипотенуза: \[ x=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ м}. \]
Случай 2: 4 м — гипотенуза, 3 м — катет. Тогда второй катет: \[ x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\text{ м}. \]
Случай, где 3 м были бы гипотенузой, невозможен: гипотенуза должна быть длиннее катета.
Ответ: \(5\) м или \(\sqrt{7}\) м (примерно \(2{,}65\) м).
Проверка подстановкой в теорему Пифагора: \(3^2+4^2=5^2\), \(5^2+6^2=61\), \(5^2+12^2=13^2\), \(5^2+(\sqrt{11})^2=6^2\), \(3^2+(\sqrt{7})^2=4^2\).
