205 г)

205 г)

\[ \frac{(y+1)^2}{12}-\frac{1-y^2}{24}=4 \]

Краткий ответ:
\[ y_1=5,\qquad y_2=-\frac{19}{3} \] То есть \(y=5\) или \(y=-6\frac13\).

Как решать

1. Общий знаменатель дробей — 24. Умножаем обе части уравнения на 24:

\[ 2(y+1)^2-(1-y^2)=96 \]

Важно: перед второй дробью стоит минус, поэтому вычитается всё выражение \(1-y^2\).

2. Раскрываем скобки:

\[ 2(y^2+2y+1)-1+y^2=96 \]

\[ 3y^2+4y+1=96 \]

\[ 3y^2+4y-95=0 \]

3. Находим дискриминант:

\[ D=4^2-4\cdot3\cdot(-95)=16+1140=1156=34^2 \]

\[ y=\frac{-4\pm34}{6} \]

\[ y_1=\frac{30}{6}=5,\qquad y_2=\frac{-38}{6}=-\frac{19}{3} \]

4. Проверка для \(y=5\):

\[ \frac{6^2}{12}-\frac{1-5^2}{24} =3-\frac{-24}{24}=3+1=4 \]

Второй корень тоже подходит. Знаменатели постоянные, поэтому ограничений на \(y\) нет.

Принцип: дробное уравнение с числовыми знаменателями удобно сразу умножить на их общий знаменатель, затем раскрыть скобки и решить квадратное уравнение.