Вариант I 1. Построить сечение, проходящее через линии и точки, выделенные на чертеже (рис. 1). 2. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2 см.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант I
II уровень

1. Построить сечение, проходящее через линии и точки, выделенные на чертеже (рис. 1).

2. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D$.

3. Докажите, что линии пересечения двух пар параллельных плоскостей параллельны.
[Рисунок 1: пирамида с вершиной P; видны обозначения A, B, C, K, N; ещё одна подпись у нижней левой вершины [неразборчиво].]
Вариант II

4. Построить сечение, проходящее через линии и точки, выделенные на чертеже (рис. 2).

5. Дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основанием которого является ромб $ABCD$, угол $BAD=30^\circ$, $AB=18$, $BB_1=12$. Найти площадь $AB_1C_1D$.

6. Непараллельные отрезки $AB$ и $CD$ лежат соответственно в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Что можно сказать о взаимном расположении прямых $AC$ и $BD$?
[Рисунок 2: пирамида с вершиной M; видны обозначения A, B, C, D, N; часть линий [неразборчиво].]

Answer

На фото два варианта. Ниже — решения текстовых задач по обоим; задания №1 — на построение, и по этому снимку нельзя надёжно понять, какие именно линии и точки выделены, поэтому их не угадываю.

Кратко

В-I, №2: $\sqrt{2}$ см.

В-I, №3: линии пересечения параллельны.

В-II, №2: $270$.

В-II, №3: прямые $AC$ и $BD$ — скрещивающиеся.

Вариант I, №2.
Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $D(0,2,0)$, $B_1(2,0,2)$.
Направление $AB$: $(1,0,0)$, направление $B_1D$: $(-1,1,-1)$.
Возьмём середину $M$ ребра $AB$ и середину $N$ отрезка $B_1D$:
$$
M(1,0,0),\qquad N(1,1,1).
$$
Тогда
$$
\overrightarrow{MN}=(0,1,1).
$$
Он перпендикулярен обоим направлениям, значит $MN$ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Его длина:
$$
MN=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
$$
Ответ: $\sqrt{2}$ см.

Вариант I, №3.
Пусть $\alpha\parallel\beta$, $\gamma\parallel\delta$, а
$$
l=\alpha\cap\gamma,\qquad m=\beta\cap\delta.
$$
Обозначим $n=\beta\cap\gamma$. Плоскость $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, поэтому $l\parallel n$. А плоскость $\beta$ пересекает параллельные плоскости $\gamma$ и $\delta$, поэтому $n\parallel m$. Значит, $l\parallel m$.
То есть линии пересечения действительно параллельны.

Вариант II, №2.
Четырёхугольник $AB_1C_1D$ — параллелограмм: $AD\parallel B_1C_1$ и $AB_1\parallel DC_1$.
Берём $AD=18$ как основание. Высота к $AD$ — расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $B_1C_1$.
Их проекции на основание — это $AD$ и $BC$. Расстояние между $AD$ и $BC$ в ромбе:
$$
18\sin 30^\circ=9.
$$
Вертикальный подъём от $BC$ к $B_1C_1$ равен $BB_1=12$. Поэтому высота сечения:
$$
\sqrt{9^2+12^2}=15.
$$
Тогда
$$
S_{AB_1C_1D}=18\cdot 15=270.
$$
Ответ: $270$ кв. ед.

Вариант II, №3.
Предположим, что $AC$ и $BD$ не скрещиваются, то есть пересекаются или параллельны. Тогда они лежат в одной плоскости $\pi$. Но тогда $A,B,C,D\in\pi$, значит $AB$ и $CD$ — линии пересечения $\pi$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Такие линии должны быть параллельны, то есть $AB\parallel CD$, а это противоречит условию.
Следовательно, $AC$ и $BD$ — скрещивающиеся прямые.

Для №1 нужен более чёткий кадр именно рисунка 1 или 2: на нём должны быть видны выделенные линии и точки.