20x—7y=5 решения

Кратко. В уравнении две неизвестные, поэтому решений бесконечно много.

Если \(x,y\) — любые действительные числа, то: \[ y=\frac{20x-5}{7}, \] где \(x\) можно выбирать любым.

Если нужны целые решения, то: \[ x=2+7k,\qquad y=5+20k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Например: при \(k=0\) получаем \((2;5)\), при \(k=1\) — \((9;25)\).

Как это получить.
Одно решение легко угадать: \(x=2,\ y=5\), потому что \[ 20\cdot2-7\cdot5=40-35=5. \] Вычтем это равенство из исходного: \[ 20(x-2)=7(y-5). \] Числа \(20\) и \(7\) взаимно простые, поэтому \(x-2\) должно делиться на \(7\). Обозначим \[ x-2=7k. \] Тогда \[ 20\cdot7k=7(y-5), \] откуда \[ y-5=20k. \] Значит, \[ x=2+7k,\qquad y=5+20k. \]

Проверка: \[ 20(2+7k)-7(5+20k)=40+140k-35-140k=5. \] Всё верно. Если нужны натуральные \(x,y\), то подходят \(k=0,1,2,\ldots\)