65 Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

Кратко: а) два угла по \(57^\circ\), два по \(123^\circ\);

б) два угла по \(40^\circ\), два по \(140^\circ\).

Как рассуждать

При пересечении двух прямых получаются четыре угла:

• вертикальные углы равны;
• смежные углы в сумме дают \(180^\circ\);
• все четыре угла вместе дают \(360^\circ\).

а) Сумма \(114^\circ\) не может быть суммой смежных углов: у них было бы \(180^\circ\). Значит, это два равных вертикальных угла:

\[ 2\alpha=114^\circ,\qquad \alpha=57^\circ \]

Тогда каждый смежный с ними угол равен

\[ 180^\circ-57^\circ=123^\circ \]

Проверка: \(57^\circ+57^\circ=114^\circ\), а все четыре угла дают \(360^\circ\).

б) Сумма всех четырёх углов равна \(360^\circ\). Если три угла дают \(220^\circ\), то четвёртый:

\[ 360^\circ-220^\circ=140^\circ \]

Вертикальный ему угол тоже \(140^\circ\), а смежные с ними:

\[ 180^\circ-140^\circ=40^\circ \]

Проверка: \(140^\circ+40^\circ+40^\circ=220^\circ\), и все четыре угла дают \(360^\circ\).