205 номер
Сверь числа и знаки с фото.
- Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y = x^2 + 2x - 15\); б) \(y = 0,5x^2 - 3x + 4\); в) \(y = 4 - 0,5x^2\); г) \(y = 6x - 2x^2\); д) \(y = (2x - 7)(x + 1)\); е) \(y = (2 - x)(x + 6)\).
Краткий ответ
Все шесть функций — квадратичные, их графики являются параболами. Для всех \(D(y)=\mathbb R\). Обозначим вершину \((x_0;y_0)\); ось симметрии — прямая \(x=x_0\).
| Пункт | \(x_0\) | \(y_0\) | Ветви | Нули функции | \(y(0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| а) | \(-1\) | \(-16\) | вверх | \(-5;\ 3\) | \(-15\) |
| б) | \(3\) | \(-\frac12\) | вверх | \(2;\ 4\) | \(4\) |
| в) | \(0\) | \(4\) | вниз | \(\pm 2\sqrt2\) | \(4\) |
| г) | \(\frac32\) | \(\frac92\) | вниз | \(0;\ 3\) | \(0\) |
| д) | \(\frac54\) | \(-\frac{81}{8}\) | вверх | \(-1;\ \frac72\) | \(-7\) |
| е) | \(-2\) | \(16\) | вниз | \(-6;\ 2\) | \(12\) |
Свойства:
| Пункт | Область значений \(E(y)\) | Убывает | Возрастает | \(y>0\) | \(y<0\) |
|---|---|---|---|---|---|
| а) | \([-16;+\infty)\) | \((-\infty;-1]\) | \([-1;+\infty)\) | \((-\infty;-5)\cup(3;+\infty)\) | \((-5;3)\) |
| б) | \(\left[-\frac12;+\infty\right)\) | \((-\infty;3]\) | \([3;+\infty)\) | \((-\infty;2)\cup(4;+\infty)\) | \((2;4)\) |
| в) | \((-\infty;4]\) | \([0;+\infty)\) | \((-\infty;0]\) | \((-2\sqrt2;2\sqrt2)\) | \((-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\) |
| г) | \(\left(-\infty;\frac92\right]\) | \(\left[\frac32;+\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac32\right]\) | \((0;3)\) | \((-\infty;0)\cup(3;+\infty)\) |
| д) | \(\left[-\frac{81}{8};+\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac54\right]\) | \(\left[\frac54;+\infty\right)\) | \((-\infty;-1)\cup\left(\frac72;+\infty\right)\) | \(\left(-1;\frac72\right)\) |
| е) | \((-\infty;16]\) | \([-2;+\infty)\) | \((-\infty;-2]\) | \((-6;2)\) | \((-\infty;-6)\cup(2;+\infty)\) |
В пунктах а), б), д) есть наименьшее значение, равное \(y_0\), а наибольшего нет.
В пунктах в), г), е) есть наибольшее значение, равное \(y_0\), а наименьшего нет.
Как получать такие свойства
Для функции в стандартном виде
\[ y=ax^2+bx+c \]
координата вершины находится по формуле
\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]
Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому в вершине — минимум.
Если \(a<0\), ветви направлены вниз, поэтому в вершине — максимум.
Нули функции — это решения уравнения \(y=0\). По ним удобно определять промежутки знакопостоянства.
Например, для а):
\[ y=x^2+2x-15, \]
\[ x_0=-\frac{2}{2}=-1,\qquad y_0=(-1)^2+2(-1)-15=-16. \]
Нули:
\[ x^2+2x-15=0, \]
\[ D=4+60=64, \]
\[ x_1=-5,\qquad x_2=3. \]
Значит, вершина параболы — \((-1;-16)\), ветви вверх, нули — \(x=-5\) и \(x=3\). Отмечаем вершину, нули, точку \((0;-15)\) и симметричные точки, затем соединяем плавной кривой.
В пунктах д) и е) нули можно найти сразу по множителям: например, в д) \(2x-7=0\) или \(x+1=0\), откуда \(x=\frac72\) и \(x=-1\).
Проверка
Для а):
\[ x^2+2x-15=(x+1)^2-16=(x+5)(x-3), \]
то есть вершина действительно \((-1;-16)\), а нули \(-5\) и \(3\).
Для д):
\[ 2x^2-5x-7=2\left(x-\frac54\right)^2-\frac{81}{8}, \]
значит, вершина \(\left(\frac54;-\frac{81}{8}\right)\) найдена верно.
