Разберём именно номер 256 по шагам. Сначала — главное: графический способ означает, что мы строим два графика и ищем точки, где они пересекаются. В ответ выписываем не \(y\), а \(x\).

В номере 256 два уравнения:

\[ \text{а) } x^2-3=2x; \qquad \text{б) } 4-x^2=3x. \]

Что вообще происходит

Слева и справа стоят две функции. Обозначим их:

\[ y_1=x^2-3,\qquad y_2=2x. \]

Уравнение \(x^2-3=2x\) означает: при каком \(x\) значения \(y_1\) и \(y_2\) одинаковы?

На графике это как раз точки пересечения: в них у двух графиков одна и та же \(y\), а значит, левая и правая части уравнения равны.

---

а) \(x^2-3=2x\)

Строим два графика:

\[ y_1=x^2-3 \]

— это парабола \(y=x^2\), сдвинутая на 3 клетки вниз.

\[ y_2=2x \]

— это прямая.

1. Таблица для параболы \(y=x^2-3\)

Берём несколько значений \(x\) и считаем \(y\):

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y=x^2-3\)	\(6\)	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	\(1\)	\(6\)	\(13\)

Например:

\[ x=-1:\quad y=(-1)^2-3=1-3=-2. \]

\[ x=3:\quad y=3^2-3=9-3=6. \]

Отмечаем эти точки и соединяем плавной линией — получается парабола.

2. Таблица для прямой \(y=2x\)

Для прямой достаточно двух точек, но можно взять три:

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(3\)
\(y=2x\)	\(-2\)	\(0\)	\(6\)

То есть прямая проходит через точки

\[ (-1;-2),\quad (0;0),\quad (3;6). \]

3. Ищем точки пересечения

На графике парабола и прямая пересекаются в двух точках:

\[ (-1;-2)\quad \text{и}\quad (3;6). \]

Теперь смотрим, какие \(x\) соответствуют этим точкам:

• у точки \((-1;-2)\) координата \(x=-1\);
• у точки \((3;6)\) координата \(x=3\).

Значит, корни уравнения:

\[ x=-1,\qquad x=3. \]

Почему это действительно корни

Проверяем подстановкой.

При \(x=-1\):

\[ (-1)^2-3=1-3=-2, \]

\[ 2\cdot(-1)=-2. \]

Обе части равны \(-2\). Всё верно.

При \(x=3\):

\[ 3^2-3=9-3=6, \]

\[ 2\cdot3=6. \]

Обе части равны \(6\). Тоже верно.

Ответ для а): \(x=-1\) и \(x=3\).

---

б) \(4-x^2=3x\)

Снова обозначаем две функции:

\[ y_1=4-x^2,\qquad y_2=3x. \]

График \(y=4-x^2\) — это парабола с ветвями вниз, вершина в точке \((0;4)\). График \(y=3x\) — прямая.

1. Таблица для параболы \(y=4-x^2\)

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=4-x^2\)	\(-12\)	\(-5\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)	\(3\)	\(0\)

Например:

\[ x=-4:\quad y=4-(-4)^2=4-16=-12. \]

\[ x=1:\quad y=4-1^2=4-1=3. \]

2. Таблица для прямой \(y=3x\)

\(x\)	\(-4\)	\(0\)	\(1\)
\(y=3x\)	\(-12\)	\(0\)	\(3\)

Прямая проходит через точки

\[ (-4;-12),\quad (0;0),\quad (1;3). \]

3. Точки пересечения

Графики пересекаются в точках

\[ (-4;-12)\quad \text{и}\quad (1;3). \]

Их \(x\)-координаты:

\[ x=-4,\qquad x=1. \]

Проверка:

При \(x=-4\):

\[ 4-(-4)^2=4-16=-12, \]

\[ 3\cdot(-4)=-12. \]

При \(x=1\):

\[ 4-1^2=4-1=3, \]

\[ 3\cdot1=3. \]

Всё совпадает.

Ответ для б): \(x=-4\) и \(x=1\).

---

Самое важное, что нужно запомнить

1. Левая и правая части уравнения — это две функции.
2. Строим их графики в одной системе координат.
3. Точки пересечения показывают, где значения функций равны.
4. В ответ записываем \(x\)-координаты этих точек, а не \(y\).

Итоговый ответ номера 256:

\[ \text{а) } -1;\ 3, \qquad \text{б) } -4;\ 1. \]

Если непонятно, как именно отмечать точки на координатной плоскости или как строить параболу, скажи — разберём это отдельно ещё медленнее.

Задача 259

Дано

Собственная скорость катера:

\[ v_{\text{соб}}=50\ \text{км/ч}. \]

Время движения по течению:

\[ t_{\text{по теч.}}=3\ \text{ч}. \]

Время движения против течения на \(1{,}5\) ч больше:

\[ t_{\text{против теч.}}=3+1{,}5=4{,}5\ \text{ч}. \]

Катер прошёл по течению и против течения одинаковое расстояние, то есть:

\[ S_{\text{по теч.}}=S_{\text{против теч.}}. \]

Найти

Скорость течения реки:

\[ v_{\text{теч.}} — ? \]

---

Решение

Пусть скорость течения реки равна \(x\) км/ч.

Тогда:

• по течению катер движется со скоростью

\[ 50+x\ \text{км/ч}; \]

• против течения — со скоростью

\[ 50-x\ \text{км/ч}. \]

Расстояние вычисляется по формуле:

\[ S=v\cdot t. \]

Значит, по течению катер прошёл:

\[ S_{\text{по теч.}}=3(50+x). \]

Против течения он прошёл:

\[ S_{\text{против теч.}}=4{,}5(50-x). \]

Так как расстояние одно и то же, составляем уравнение:

\[ 3(50+x)=4{,}5(50-x). \]

Раскрываем скобки:

\[ 150+3x=225-4{,}5x. \]

Переносим слагаемые с \(x\) влево, а числа — вправо:

\[ 3x+4{,}5x=225-150. \]

Считаем:

\[ 7{,}5x=75. \]

Находим \(x\):

\[ x=\frac{75}{7{,}5}=10. \]

Значит, скорость течения реки:

\[ v_{\text{теч.}}=10\ \text{км/ч}. \]

---

Проверка

По течению скорость катера:

\[ 50+10=60\ \text{км/ч}. \]

За \(3\) часа он прошёл:

\[ 60\cdot3=180\ \text{км}. \]

Против течения скорость катера:

\[ 50-10=40\ \text{км/ч}. \]

За \(4{,}5\) часа он прошёл:

\[ 40\cdot4{,}5=180\ \text{км}. \]

Расстояния совпали, значит, задача решена верно.

Ответ

\[ \boxed{10\ \text{км/ч}} \]

Скорость течения реки — \(10\) км/ч.

За \(x\) мы взяли скорость течения реки:

\[ x=v_{\text{теч.}}\ \text{км/ч}. \]

Именно эту величину требовалось найти.

Почему так удобно:

• собственная скорость катера известна — \(50\) км/ч;
• по течению река помогает, поэтому скорость катера:

\[ 50+x; \]

• против течения река мешает, поэтому скорость катера:

\[ 50-x. \]

Тогда расстояние по течению:

\[ S_1=3(50+x), \]

а против течения:

\[ S_2=4{,}5(50-x). \]

Так как расстояния одинаковые:

\[ 3(50+x)=4{,}5(50-x). \]

Отсюда \(x=10\), то есть скорость течения реки равна \(10\) км/ч.

Итог: \(x\) — это скорость течения реки, а не скорость катера.