141 143 145

Question

141 143 145

Расшифровка фото нейросетью:
141. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 11 см, 25 см и 30 см.

142. Площадь треугольника равна 84 см², а его периметр — 72 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

143. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см.

Answer

Кратко:
141) $24$ см;
143) $\frac{7}{3}$ см $=2\frac{1}{3}$ см;
145) $r=2$ см, $R=\frac{145}{8}$ см $=18{,}125$ см.

Что нужно помнить

В таких задачах сначала находят полупериметр и площадь треугольника:

полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$;

площадь по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;

высота $h_a=\frac{2S}{a}$;

радиус вписанной окружности $r=\frac{S}{p}$;

радиус описанной окружности $R=\frac{abc}{4S}$.

141. Наибольшая высота треугольника со сторонами $11$, $25$ и $30$ см

$$
p=\frac{11+25+30}{2}=33,
$$
$$
S=\sqrt{33\cdot22\cdot8\cdot3}=\sqrt{17424}=132.
$$

Площадь равна $132$ см².

Наибольшая высота проводится к наименьшей стороне — к $11$ см:

$$
h=\frac{2S}{11}=\frac{2\cdot132}{11}=\frac{264}{11}=24.
$$

Ответ: $24$ см.

Почему к меньшей стороне? Потому что $h_a=\frac{2S}{a}$: при одной и той же площади $S$ чем меньше сторона $a$, тем больше высота.

Треугольник здесь тупоугольный, поэтому высота к стороне $11$ см падает на её продолжение, но формула $h=\frac{2S}{a}$ всё равно работает.

143. Площадь $84$ см², периметр $72$ см. Найти радиус вписанной окружности

Полупериметр:

$$
p=\frac{72}{2}=36.
$$

Радиус вписанной окружности:

$$
r=\frac{S}{p}=\frac{84}{36}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}.
$$

Ответ: $\frac{7}{3}$ см, или $2\frac{1}{3}$ см.

Проверка: $S=pr=36\cdot\frac{7}{3}=84$ см² — сходится.

145. Радиусы вписанной и описанной окружностей для треугольника со сторонами $6$, $25$ и $29$ см

Полупериметр:

$$
p=\frac{6+25+29}{2}=30.
$$

Площадь по формуле Герона:

$$
S=\sqrt{30\cdot24\cdot5\cdot1}=\sqrt{3600}=60.
$$

Радиус вписанной окружности:

$$
r=\frac{S}{p}=\frac{60}{30}=2.
$$

Радиус описанной окружности:

$$
R=\frac{abc}{4S}
=\frac{6\cdot25\cdot29}{4\cdot60}
=\frac{4350}{240}
=\frac{145}{8}
=18{,}125.
$$

Ответ: $r=2$ см, $R=18{,}125$ см, или $18\frac{1}{8}$ см.

Проверка для $R$: если угол против стороны $29$ см обозначить $C$, то

$$
S=\frac12\cdot6\cdot25\cdot\sin C,
$$
$$
\sin C=\frac{2\cdot60}{150}=0{,}8,
$$
$$
R=\frac{29}{2\sin C}=\frac{29}{1{,}6}=18{,}125.
$$

Всё сходится.