1202. Найдите значение выражения:

Краткий ответ: а) \(5\); б) \(1\); в) \(\frac{1}{36}\); г) \(144\); д) \(512\); е) \(\frac{1}{3}\).

Что использовать. Отрицательная степень — это не отрицательное число, а дробь: \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad a^0=1 \quad (a\ne0). \] Также: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \qquad (a^m)^n=a^{mn}. \] Главный приём — привести числа к одному основанию.

Решение.

а) \(125=5^3\), \(25=5^2\): \[ 125^{-1}\cdot25^2=(5^3)^{-1}\cdot(5^2)^2 =5^{-3}\cdot5^4=5^1=5. \]

б) \(16=4^2\): \[ 16^{-3}\cdot4^6=(4^2)^{-3}\cdot4^6 =4^{-6}\cdot4^6=4^0=1. \]

в) \[ (6^2)^6:6^{14}=6^{12}:6^{14} =6^{12-14}=6^{-2} =\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}. \]

г) \(12^0=1\), а \((12^{-1})^2=12^{-2}\): \[ 12^0:(12^{-1})^2=12^0:12^{-2} =12^{0-(-2)}=12^2=144. \]

д) \(4^2=(2^2)^2=2^4\): \[ \frac{(2^5)^5\cdot(2^{-6})^2}{4^2} =\frac{2^{25}\cdot2^{-12}}{2^4} =\frac{2^{13}}{2^4} =2^9=512. \]

е) \(9^4=(3^2)^4=3^8\): \[ \frac{3^{-3}\cdot9^4}{(3^3)^2} =\frac{3^{-3}\cdot3^8}{3^6} =\frac{3^5}{3^6} =3^{-1}=\frac{1}{3}. \]

Вывод: в похожем задании сначала ищи общее основание, затем складывай показатели при умножении и вычитай при делении.