вводим новую переменную у и решаеп через дискриминат

Question

Расшифровка фото нейросетью:
223. Решите биквадратное уравнение:
а) $x^{4} - 5x^{2} - 36 = 0$;
б) $y^{4} - 6y^{2} + 8 = 0$;
в) $t^{4} + 10t^{2} + 25 = 0$;
г) $4x^{4} - 5x^{2} + 1 = 0$;
д) $9x^{4} - 9x^{2} + 2 = 0$;
е) $16y^{4} - 8y^{2} + 1 = 0$.

224. Найдите корни биквадратного уравнения:
а) $x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0$;
б) $y^{4} + 14y^{2} + 48 = 0$;
в) $x^{4} - 4x^{2} + 4 = 0$;
г) $t^{4} - 2t^{2} - 3 = 0$;
д) $2x^{4} - 9x^{2} + 4 = 0$;
е) $5y^{4} - 5y^{2} + 2 = 0$.

Answer

Коротко: биквадратное уравнение сводится к квадратному заменой
$$
u=x^2 \quad \text{(или }u=y^2,\ u=t^2\text{)},\qquad u\ge 0.
$$
Получаем $au^2+bu+c=0$, решаем через дискриминант
$$
D=b^2-4ac,\qquad u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.
$$
Отрицательные $u$ отбрасываем: из $x^2=u$ при $u<0$ действительных корней нет. Затем решаем $x^2=u$, то есть $x=\pm\sqrt u$.

Ниже — все пункты с фото.

223

Пункт |
Уравнение после замены |
$D$ |
Корни |

а |
$u^2-5u-36=0$ |
169 |
$x=\pm3$ |

б |
$u^2-6u+8=0$ |
4 |
$y=\pm2,\ \pm\sqrt2$ |

в |
$u^2+10u+25=0$ |
0 |
нет корней |

г |
$4u^2-5u+1=0$ |
9 |
$x=\pm1,\ \pm\frac12$ |

д |
$9u^2-9u+2=0$ |
9 |
$x=\pm\sqrt{\frac23},\ \pm\sqrt{\frac13}$ |

е |
$16u^2-8u+1=0$ |
0 |
$y=\pm\frac12$ |

224

Пункт |
Уравнение после замены |
$D$ |
Корни |

а |
$u^2-25u+144=0$ |
49 |
$x=\pm3,\ \pm4$ |

б |
$u^2+14u+48=0$ |
4 |
нет корней |

в |
$u^2-4u+4=0$ |
0 |
$x=\pm\sqrt2$ |

г |
$u^2-2u-3=0$ |
16 |
$t=\pm\sqrt3$ |

д |
$2u^2-9u+4=0$ |
49 |
$x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt2}{2}$ |

е |
$5u^2-5u+2=0$ |
$-15$ |
нет корней |

Как это работает — на примере 223 а

$$
x^4-5x^2-36=0
$$

Пусть

$$
u=x^2,\qquad u\ge0.
$$

Тогда $x^4=u^2$, и уравнение становится квадратным:

$$
u^2-5u-36=0.
$$

Считаем дискриминант:

$$
D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-36)=25+144=169.
$$

$$
u_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{5\pm13}{2}.
$$

Получаем:

$$
u_1=9,\qquad u_2=-4.
$$

Но $u=x^2$, поэтому $u$ не может быть отрицательным. Значит, $-4$ не подходит. Остаётся:

$$
x^2=9,
$$

откуда

$$
x=\pm3.
$$

Проверка для $x=3$:

$$
3^4-5\cdot3^2-36=81-45-36=0.
$$

Всё верно.

Важный момент

Если после решения квадратного уравнения получился отрицательный $u$, корней у исходного уравнения нет.

Например, в 223 в:

$$
u^2+10u+25=0,
$$

$$
D=100-100=0,
$$

$$
u=-5.
$$

Но $t^2=-5$ невозможно, поэтому действительных корней нет.

Пункт	Уравнение после замены	\(D\)	Корни
а	\(u^2-5u-36=0\)	169	\(x=\pm3\)
б	\(u^2-6u+8=0\)	4	\(y=\pm2,\ \pm\sqrt2\)
в	\(u^2+10u+25=0\)	0	нет корней
г	\(4u^2-5u+1=0\)	9	\(x=\pm1,\ \pm\frac12\)
д	\(9u^2-9u+2=0\)	9	\(x=\pm\sqrt{\frac23},\ \pm\sqrt{\frac13}\)
е	\(16u^2-8u+1=0\)	0	\(y=\pm\frac12\)

Пункт	Уравнение после замены	\(D\)	Корни
а	\(u^2-25u+144=0\)	49	\(x=\pm3,\ \pm4\)
б	\(u^2+14u+48=0\)	4	нет корней
в	\(u^2-4u+4=0\)	0	\(x=\pm\sqrt2\)
г	\(u^2-2u-3=0\)	16	\(t=\pm\sqrt3\)
д	\(2u^2-9u+4=0\)	49	\(x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt2}{2}\)
е	\(5u^2-5u+2=0\)	\(-15\)	нет корней