Считая, что Марс движется вокруг Солнца по окружности, найди радиус этой окружности и центростремительное ускорение, если известно, что масса Солнца равна 1,989 · 10³⁰ кг

Краткий ответ

• Радиус (м): 227848394755
  то есть \(2{,}27848\cdot10^{11}\) м.
• Ускорение (м/с²): 0,003
  до округления получается \(0{,}002555\ldots\) м/с².

Почему так

При движении по окружности сила притяжения Солнца является центростремительной силой:

\[ \frac{GM_\odot}{r^2}=\frac{v^2}{r}. \]

Сокращаем на \(r\):

\[ r=\frac{GM_\odot}{v^2}. \]

Переводим скорость в метры в секунду:

\[ v=24{,}13\ \text{км/с}=24\,130\ \text{м/с}. \]

Берём \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\):

\[ v^2=(24\,130)^2=5{,}822569\cdot10^8, \]

\[ GM_\odot=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}989\cdot10^{30} =1{,}326663\cdot10^{20}. \]

Тогда

\[ r=\frac{1{,}326663\cdot10^{20}}{5{,}822569\cdot10^8} \approx2{,}27848\cdot10^{11}\ \text{м}. \]

То есть радиус около \(227\,848\,394\,755\) м.

Центростремительное ускорение:

\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r} \approx\frac{5{,}822569\cdot10^8}{2{,}27848\cdot10^{11}} \approx0{,}002555\ \text{м/с}^2. \]

Округляем до тысячных:

\[ a_{\text{ц}}\approx0{,}003\ \text{м/с}^2. \]

Проверка: \(v^2/r\) и \(GM/r^2\) дают одно и то же значение — около \(0{,}002555\) м/с².