7. Решите уравнение: а) m² − 25 = 0; б) x² − 36 = 0; в) 9x² − 4 = 0; г) 16x² − 49 = 0

На фото два задания — решаю оба.

Краткий ответ

№7: а) \(m = \pm 5\); б) \(x = \pm 6\); в) \(x = \pm \frac{2}{3}\); г) \(x = \pm \frac{7}{4}\).

№308: а) \((c^{3} - 3x^{2})(c^{3} + 3x^{2})\); б) \((10y - a^{4})(10y + a^{4})\); в) \((2x^{2} - 5b)(2x^{2} + 5b)\); г) \((a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1)\); д) \((0{,}6 - xy)(0{,}6 + xy)\); е) \((2a - bc)(2a + bc)\).

Две идеи, на которых всё держится

1. Уравнение \(x^{2} = a\): при \(a > 0\) корней два — \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); при \(a = 0\) корень один; при \(a < 0\) корней нет. Отсюда знак \(\pm\) в ответе.
2. Разность квадратов: \[A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B).\] Нужно только увидеть в каждом слагаемом квадрат: \(c^{6} = (c^{3})^{2}\), \(9x^{4} = (3x^{2})^{2}\), \(a^{8} = (a^{4})^{2}\), \(0{,}36 = 0{,}6^{2}\), \(b^{2}c^{2} = (bc)^{2}\).

№7 по шагам

а) \(m^{2} - 25 = 0 \Rightarrow m^{2} = 25 \Rightarrow m = \pm 5\).

б) \(x^{2} - 36 = 0 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = \pm 6\).

в) \(9x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow 9x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3}\).

Здесь важный момент: делим на 9 обе части, получаем \(x^{2} = \frac{4}{9}\), и только потом извлекаем корень из числителя и знаменателя — нельзя «извлекать корень» из \(9x^{2}\) и \(4\) по отдельности.

г) \(16x^{2} = 49 \Rightarrow x^{2} = \frac{49}{16} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{4}\) (это \(\pm 1{,}75\)).

Проверка для в): \(9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} - 4 = 9 \cdot \frac{4}{9} - 4 = 0\). Для \(-\frac{2}{3}\) тоже 0: квадрат «убирает» минус.

Тот же ответ через формулу: \(9x^{2} - 4 = (3x - 2)(3x + 2) = 0\), значит \(3x - 2 = 0\) или \(3x + 2 = 0\), то есть \(x = \pm \frac{2}{3}\). Так сразу видно, почему корней два.

№308 по шагам

Образец: \(c^{6} - 9x^{4} = (c^{3})^{2} - (3x^{2})^{2} = (c^{3} - 3x^{2})(c^{3} + 3x^{2})\).

б) \(100y^{2} - a^{8} = (10y)^{2} - (a^{4})^{2} = (10y - a^{4})(10y + a^{4})\).

в) \(4x^{4} - 25b^{2} = (2x^{2})^{2} - (5b)^{2} = (2x^{2} - 5b)(2x^{2} + 5b)\).

г) Формула применяется дважды: \(a^{4} - 1 = (a^{2})^{2} - 1^{2} = (a^{2} - 1)(a^{2} + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1)\). Множитель \(a^{2} + 1\) дальше не разлагается.

д) \(0{,}36 - x^{2}y^{2} = 0{,}6^{2} - (xy)^{2} = (0{,}6 - xy)(0{,}6 + xy)\).

е) \(4a^{2} - b^{2}c^{2} = (2a)^{2} - (bc)^{2} = (2a - bc)(2a + bc)\).

Проверка для в): \((2x^{2} - 5b)(2x^{2} + 5b) = 4x^{4} + 10x^{2}b - 10x^{2}b - 25b^{2} = 4x^{4} - 25b^{2}\) — средние члены взаимно уничтожились, получили исходное выражение.

Пункты ж), з), и) в №308 на фото обрезаны — вторые слагаемые не видны, поэтому их не решаю.