а) 125⁻¹ × 25² = б) 16⁻³ × 8⁶ = в) (6²)⁶ : 6¹⁴ = г) 12⁰ : (12⁻¹)² =

Кратко: а) \(5\); б) \(64\); в) \(\frac{1}{36}\); г) \(144\); д) \(8\); е) \(81\).

Идея всех примеров. Каждое основание — это степень одного и того же числа, поэтому всё выражение сворачивается в одну степень. Работают свойства (\(a>0\)):

\[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad a^{0}=1. \]

а) \(125=5^{3}\), \(25=5^{2}\): \[ 125^{-1}\cdot 25^{2}=(5^{3})^{-1}\cdot(5^{2})^{2}=5^{-3}\cdot 5^{4}=5^{1}=5. \]

б) \(16=2^{4}\), \(8=2^{3}\): \[ 16^{-3}\cdot 8^{6}=(2^{4})^{-3}\cdot(2^{3})^{6}=2^{-12}\cdot 2^{18}=2^{6}=64. \]

в) сначала раскрываю скобки, потом вычитаю показатели: \[ (6^{2})^{6}:6^{14}=6^{12}:6^{14}=6^{12-14}=6^{-2}=\frac{1}{36}. \]

г) \(12^{0}=1\), а деление на отрицательную степень — это умножение: \[ 12^{0}:(12^{-1})^{2}=1:12^{-2}=12^{2}=144. \]

д) все основания свожу к двойке, учитывая, что \(4^{2}=(2^{2})^{2}=2^{4}\): \[ \frac{(2^{3})^{5}\cdot(2^{-4})^{2}}{4^{2}}=\frac{2^{15}\cdot 2^{-8}}{2^{4}}=2^{15-8-4}=2^{3}=8. \]

е) \(9=3^{2}\): \[ \frac{(3^{-2})^{3}\cdot 9^{8}}{(3^{3})^{2}}=\frac{3^{-6}\cdot 3^{16}}{3^{6}}=3^{-6+16-6}=3^{4}=81. \]

Проверка числами: а) \(625:125=5\); б) \(262144:4096=64\); в) \(6^{12}:6^{14}=\frac{1}{36}\); г) \(1:\frac{1}{144}=144\); д) \(32768\cdot\frac{1}{256}:16=8\); е) \(59049:729=81\). Всё сходится.

Чтобы решить похожее: 1) разложи основание на степень простого числа; 2) раскрой скобки — показатели перемножаются; 3) при умножении показатели складывай, при делении вычитай; 4) отрицательный показатель — это дробь, а \(a^{0}=1\); 5) проверь ответ одним-двумя числами.