упражнение 16
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 16
Чему равна сила тяжести, действующая на тело массой 2,5 кг; 600 г; 1,2 т; 50 т? (Принять \(g = 10\) м/с².)
Определите приблизительно силу тяжести, действующую на человека массой 64 кг. (Принять \(g = 10\) м/с².) Притягивается ли земной шар к этому человеку? Если да, то чему приблизительно равна эта сила?
Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 г. Определите массу этого спутника, если известно, что на Земле на него действовала сила тяжести, равная 819,3 Н.
Ракета пролетает на расстоянии, равном 5000 км от поверхности Земли. Можно ли рассчитывать действующую на космическую ракету силу тяжести, принимая \(g = 9,8\) м/с²? (Известно, что радиус Земли приблизительно равен 6400 км.) Ответ поясните.
Ястреб в течение некоторого времени может парить на одной и той же высоте над Землёй. Значит ли это, что на него не действует сила тяжести? Что произойдёт с ястребом, если он сложит крылья?
6*. С Земли стартует космическая ракета. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести ракеты будет в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?
Кратко по пунктам
- \(25\) Н; \(6\) Н; \(12\,000\) Н; \(500\,000\) Н.
- \(640\) Н; да, Земля притягивается к человеку с такой же по модулю силой \(640\) Н.
- \(\approx 83{,}6\) кг.
- Нельзя: на этой высоте \(g\approx 3{,}1\) м/с², а не \(9{,}8\); сила \(F_T\approx 3{,}1m\) Н.
- Нет, сила тяжести действует; если ястреб сложит крылья, он начнёт падать.
- \(h\approx 6400\) км — сила в 4 раза меньше; \(h\approx 12\,800\) км — в 9 раз меньше.
Как это получается
Вблизи поверхности Земли сила тяжести: \[ F_T=mg. \] Но на большой высоте \(g\) уже нельзя считать постоянным: \[ g(h)=g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2, \] где \(R\) — радиус Земли, \(h\) — высота над её поверхностью. Сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.
\(g=10\) м/с² означает \(10\) Н силы на каждый килограмм массы. Переводим массы в килограммы: — \(2{,}5\) кг: \(F=2{,}5\cdot10=25\) Н; — \(600\) г \(=0{,}6\) кг: \(F=6\) Н; — \(1{,}2\) т \(=1200\) кг: \(F=12\,000\) Н; — \(50\) т \(=50\,000\) кг: \(F=500\,000\) Н.
\(F=mg=64\cdot10=640\) Н. По третьему закону Ньютона человек притягивает Землю с такой же по модулю силой \(640\) Н. Просто Земля из-за огромной массы почти не приобретает ускорения.
Здесь удобно взять \(g=9{,}8\) м/с²: \[ m=\frac{F}{g}=\frac{819{,}3}{9{,}8}\approx 83{,}6\ \text{кг}. \] Если округлять \(g\) до \(10\), получится \(81{,}9\) кг, но число \(819{,}3\) Н подобрано именно под \(g=9{,}8\).
Расстояние до центра Земли: \[ R+h=6400+5000=11\,400\ \text{км}. \] Тогда \[ g(h)\approx 9{,}8\left(\frac{6400}{11\,400}\right)^2\approx 3{,}1\ \text{м/с}^2. \] Высота \(5000\) км сравнима с радиусом Земли, поэтому \(g=9{,}8\) брать нельзя. При массе ракеты \(m\) сила тяжести примерно равна \(3{,}1m\) Н.
Постоянная высота означает, что ускорение ястреба равно нулю, но не то, что сил нет. Сила тяжести направлена вниз и уравновешивается подъёмной силой воздуха. Если ястреб сложит крылья, подъёмная сила резко уменьшится, равнодействующая будет направлена вниз — ястреб начнёт падать, а сопротивление воздуха постепенно ограничит скорость.
Считая массу ракеты постоянной: \[ F(h)=F_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2. \] Если сила в 4 раза меньше: \[ \left(\frac{R+h}{R}\right)^2=4 \quad\Rightarrow\quad R+h=2R, \] то есть \(h=R\approx 6400\) км.
Если сила в 9 раз меньше: \[ \left(\frac{R+h}{R}\right)^2=9 \quad\Rightarrow\quad R+h=3R, \] поэтому \(h=2R\approx 12\,800\) км.
Проверка: при \(h=R\) расстояние до центра равно \(2R\), и сила уменьшается в \(2^2=4\) раза; при \(h=2R\) расстояние равно \(3R\), и сила уменьшается в \(3^2=9\) раз.
