1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории

ли, рассмотрим рисунок 54. Он представляет собой копию рисунка, сделанного Ньютоном. На этом рисунке изображён земной шар, а на нём показана высокая гора, с вершины которой бросают камни, придавая им различные по модулю горизонтально направленные скорости. В подписи Ньютона к рисунку говорится: «Брошенный камень отклонится под действием силы тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадёт, наконец, на Землю. Если его бросить с большой скоростью, то он упадёт дальше». Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что при отсутствии сопротивления воздуха и при достаточно большой скорости тело вообще может не упасть на Землю, а будет описывать круговые траектории, оставаясь на одной и той же высоте над Землёй. Такое тело становится искусственным спутником Земли. Движение спутника является примером свободного падения, так как происходит только под действием силы тяжести. Но спутник не падает на Землю благодаря тому, что он обладает достаточно большой скоростью, направленной по касательной к окружности, по которой он движется. Так, естественный спутник Земли Луна (рис. 55) обращается вокруг планеты около четырёх миллиардов лет. [Рисунок: земной шар с концентрическими окружностями и вектором v; подпись «Рис. 54. Копия рисунка Ньютона»] [Рисунок: Земля, окружённая множеством мелких объектов; подпись «Земля, окружённая ИСЗ и так называемым космическим мусором»] [Рисунок: Земля и Луна со стрелками вращения; подписи «Направление вращения Луны», «Направление вращения Земли», «Рис. 55. Обращение Луны вокруг Земли является примером свободного падения»] 89

Значит, для того чтобы некоторое тело стало искусственным спутником Земли, его нужно вывести за пределы земной атмосферы и придать ему определённую скорость, направленную по касательной к окружности, по которой оно будет двигаться. Наименьшая высота над поверхностью Земли, на которой сопротивление воздуха практически отсутствует, составляет примерно 300 км. Поэтому обычно спутники запускают на высоте 300—400 км от земной поверхности. Выведем формулу для расчёта скорости, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли. Движение спутника происходит под действием только силы тяжести. Эта сила сообщает ему ускорение свободного падения g, которое в данном случае является центростремительным. Центростремительное ускорение определяется по формуле: \(a_{ц.с} = \frac{v^2}{r}\). Значит, для спутника \[g = \frac{v^2}{r}, \quad v^2 = gr,\] \[v = \sqrt{gr}.\] По этой формуле определяется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось по окружности вокруг Земли на расстоянии r от её центра. Эта скорость называется первой космической скоростью (круговой). Если высота h спутника над поверхностью Земли мала по сравнению с земным радиусом, то ею можно пренебречь и считать, что r ≈ R_З. Обозначим ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли g_0. [По правому краю видна часть соседней страницы: рисунок «Движение ИСЗ по круговой орбите», обрезанные формулы вида «= 7,...»]

Тогда формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося вблизи поверхности Земли, будет выглядеть так: \[v = \sqrt{g_0 R_З}.\] Рассчитаем эту скорость, принимая радиус Земли равным 6400 км (или 6,4·10⁶ м), а g_0 = 9,8 м/с². \[v = \sqrt{9{,}8 \text{ м/с}^2 \cdot 6{,}4\cdot10^6 \text{ м}} \approx 7{,}9\cdot10^3 \text{ м/с} = 7{,}9 \text{ км/с}.\] Если же высотой h спутника над Землёй пренебречь нельзя, то расстояние r от центра Земли до спутника и ускорение свободного падения g на высоте h определяются по следующим формулам: \[r = R_З + h, \quad g = G\frac{M_З}{(R_З + h)^2}.\] В этом случае формула для расчёта первой космической скорости примет вид: \[v = \sqrt{G\frac{M_З}{(R_З + h)^2}(R_З + h)},\] или \[v = \sqrt{G\frac{M_З}{R_З + h}}.\] По этой формуле можно рассчитать первую космическую скорость спутника любой планеты, если вместо массы и радиуса Земли подставить соответственно массу и радиус данной планеты. Из формулы следует, что чем больше высота h, на которой запускается спутник, тем меньшую скорость v ему нужно сообщить для его движения по круговой орбите (так как h стоит в знаменателе дроби). Например, на высоте [Рисунок: Земля с круговой орбитой спутника, обозначены v, h, R_З; подпись «Движение ИСЗ по круговой орбите»] 91

300 км над поверхностью Земли первая космическая скорость приблизительно равна 7,8 км/с, а на высоте 500 км — 7,6 км/с. Если скорость тела, запускаемого на высоте h над Землёй, превышает соответствующую этой высоте первую космическую, то его орбита представляет собой эллипс (см. рис. 54, внешнюю траекторию). Чем больше скорость, тем более вытянутой будет эллиптическая орбита. При скорости, равной 11,2 км/с, которая называется второй космической скоростью, тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космическое пространство. Для запуска спутников применяют ракеты. Двигатели ракеты должны совершить работу против сил тяжести и сил сопротивления воздуха, а также сообщить спутнику соответствующую скорость. 4 октября 1957 г. в Советском Союзе был запущен первый в истории человечества искусственный спутник Земли. Спутник в виде шара диаметром 58 см и массой 83,6 кг и ракета-носитель долгое время двигались над Землёй на высоте в несколько сотен километров. 12 апреля 1961 г. первый в мире лётчик-космонавт, наш соотечественник Юрий Алексеевич Гагарин совершил полёт в космос на космическом корабле «Восток». В настоящее время сотни спутников запускаются каждый год в научно-исследовательских и практических целях: для осуществления теле- и радиосвязи, исследования атмосферы, прогнозирования погоды и т. д. [Рисунок: первый искусственный спутник Земли; подпись «Первый искусственный спутник Земли»] [Рисунок: космический корабль «Восток»; подпись «Космический корабль „Восток“»]

1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что [обрезано — продолжение на следующей странице] [По правому краю обрезано: «§ 22», «УПРАЖНЕНИЕ», пункты упражнения]

[Рисунок: космический корабль «Восток»; подпись «Космический корабль „Восток“»] 12 апреля 1961 г. первый в мире лётчик-космонавт, наш соотечественник Юрий Алексеевич Гагарин совершил полёт в космос на космическом корабле «Восток». В настоящее время сотни спутников запускаются каждый год в научно-исследовательских и практических целях: для осуществления теле- и радиосвязи, исследования атмосферы, прогнозирования погоды и т. д.

1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела. 2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю? 3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением? 4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли? 5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движуще-[обрезано] 92