решение ответ график

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 4

1. Даны точки $H(-6; -7)$ и $T(1;3)$. Найдите длину отрезка $HT$ и координаты его середины.

2. Точка $K(-5; 2)$ принадлежит окружности, а точка $P(8;-7)$ — центр этой окружности. Составьте уравнение окружности.

3. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-3; 2)$, $B(4; -3)$, $C(-1; 4)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M(8; 7{,}2)$ и $N(3; -8{,}3)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек $Y(1; -4)$ и $X(9; -5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y=2{,}3x-8{,}7$ и проходит через центр окружности $x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0$.

Answer

Ответы по варианту 4:

1. $HT=\sqrt{149}$, середина отрезка — $(-2{,}5;-2)$.

2. $(x-8)^2+(y+7)^2=250$.

3. $D(-8;9)$.

4. $y=3{,}1x-17{,}6$, или $31x-10y-176=0$.

5. $\left(\frac{89}{16};0\right)=(5{,}5625;0)$.

6. $y=2{,}3x-1{,}9$, или $23x-10y-19=0$.

Как это получается

1. Длина отрезка:
$$
HT=\sqrt{(1-(-6))^2+(3-(-7))^2}=\sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}.
$$
Середина — средние арифметические координат:
$$
\left(\frac{-6+1}{2};\frac{-7+3}{2}\right)=(-2{,}5;-2).
$$

2. Уравнение окружности с центром $(a;b)$ и радиусом $r$:
$$
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
$$
Центр $P(8;-7)$. Радиус — расстояние от $P$ до точки на окружности:
$$
r=\sqrt{(8-(-5))^2+(-7-2)^2}=\sqrt{13^2+(-9)^2}=\sqrt{250}.
$$
Значит:
$$
(x-8)^2+(y+7)^2=250.
$$

3. В параллелограмме диагонали делятся пополам. Середина $AC$:
$$
\left(\frac{-3+(-1)}2;\frac{2+4}2\right)=(-2;3).
$$
Пусть $D(x;y)$. Тогда середина $BD$ тоже $(-2;3)$:
$$
\left(\frac{4+x}{2};\frac{-3+y}{2}\right)=(-2;3).
$$
Отсюда $x=-8,\ y=9$.

4. Угловой коэффициент:
$$
k=\frac{-8{,}3-7{,}2}{3-8}=\frac{-15{,}5}{-5}=3{,}1.
$$
Уравнение через точку $M(8;7{,}2)$:
$$
y-7{,}2=3{,}1(x-8),
$$
$$
y=3{,}1x-17{,}6.
$$

5. Точка на оси абсцисс имеет вид $(x;0)$. Приравниваем квадраты расстояний до $Y(1;-4)$ и $X(9;-5)$:
$$
(x-1)^2+4^2=(x-9)^2+5^2.
$$
После раскрытия:
$$
x^2-2x+17=x^2-18x+106,
$$
$$
16x=89,\qquad x=\frac{89}{16}.
$$
Точка: $\left(\frac{89}{16};0\right)$.

6. Выделяем полные квадраты:
$$
x^2+y^2-6x-10y-15=0,
$$
$$
(x-3)^2+(y-5)^2=49.
$$
Центр окружности — $(3;5)$. Параллельная прямая имеет тот же коэффициент $2{,}3$:
$$
y-5=2{,}3(x-3),
$$
$$
y=2{,}3x-1{,}9.
$$

Проверка: в №2 подстановка точки даёт $250=250$; в №4 обе точки $M$ и $N$ лежат на найденной прямой; в №5 расстояния до $Y$ и $X$ равны; в №6 центр $(3;5)$ удовлетворяет уравнению $y=2{,}3x-1{,}9$.

Отдельного задания «построить график» здесь нет. Если график нужен: в №4 прямая проходит через $M(8;7{,}2)$ и $N(3;-8{,}3)$; в №6 — через $(3;5)$ и, например, $(0;-1{,}9)$.