решение ответ и график

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 4

1. Даны точки Н(−6; −7) и Т(1;3). Найдите длину отрезка НТ и координаты его середины.

2. Точка Е(−5; 2) принадлежит окружности, а точка Р(8;−7) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности.

3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (−3; 2), B (4; −3), C (−1; 4).

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M (8; 7,2) и N (3; −8,3).

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек Y (1; −4) и X (9; −5).

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y= 2,3x−8,7 и проходит через центр окружности x²+y²−6x−10y−15=0.

Answer

На фото — вариант 4, шесть заданий. Ниже краткие ответы, затем принцип решения и что отметить на графике.

Краткие ответы

1. $HT=\sqrt{149}\approx12{,}21$; середина $(-2{,}5;-2)$.

2. $(x-8)^2+(y+7)^2=250$.

3. $D(-8;9)$.

4. $y=3{,}1x-17{,}6$.

5. $\left(\frac{89}{16};0\right)=(5{,}5625;0)$.

6. $y=2{,}3x-1{,}9$.

1. Длина отрезка и середина
Ответ: $HT=\sqrt{149}\approx12{,}21$; середина $M(-2{,}5;-2)$.

Длина — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\Delta x$ и $\Delta y$:
$$
HT=\sqrt{(1-(-6))^2+(3-(-7))^2}
=\sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}.
$$
Середина — среднее арифметическое координат:
$$
M\left(\frac{-6+1}{2};\frac{-7+3}{2}\right)=(-2{,}5;-2).
$$
График: отметить $H(-6;-7)$, $T(1;3)$, соединить отрезком; $M$ лежит ровно посередине.

2. Уравнение окружности
Ответ: $(x-8)^2+(y+7)^2=250$.

Радиус — расстояние от центра $P(8;-7)$ до точки окружности $E(-5;2)$:
$$
R^2=PE^2=(8-(-5))^2+(-7-2)^2=13^2+(-9)^2=250.
$$
Уравнение окружности с центром $(a;b)$: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Поэтому:
$$
(x-8)^2+(y+7)^2=250.
$$
Проверка: подстановка $E(-5;2)$ даёт $13^2+9^2=250$. График: центр $P(8;-7)$, радиус $R=5\sqrt{10}\approx15{,}8$; окружность проходит через $E$.

3. Вершина параллелограмма
Ответ: $D(-8;9)$.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому середины $AC$ и $BD$ совпадают:
$$
\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}\quad\Rightarrow\quad D=A+C-B.
$$
$$
D=(-3+(-1)-4;\;2+4-(-3))=(-8;9).
$$
Проверка: середина $AC=(-2;3)$, середина $BD=(-2;3)$. График: отметить $A,B,C,D$ и соединить в порядке $A\to B\to C\to D\to A$.

4. Прямая через две точки
Ответ: $y=3{,}1x-17{,}6$.

Сначала угловой коэффициент:
$$
k=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}
=\frac{-8{,}3-7{,}2}{3-8}
=\frac{-15{,}5}{-5}=3{,}1.
$$
Теперь уравнение через точку $M$:
$$
y-7{,}2=3{,}1(x-8)
\quad\Rightarrow\quad
y=3{,}1x-17{,}6.
$$
Проверка по $N$: $3{,}1\cdot3-17{,}6=-8{,}3$. График: прямая через $M(8;7{,}2)$ и $N(3;-8{,}3)$; пересекает ось $Oy$ в точке $(0;-17{,}6)$.

5. Точка на оси абсцисс
Ответ: $Q\left(\frac{89}{16};0\right)=(5{,}5625;0)$.

Пусть $Q(x;0)$. Равноудалённость означает равенство квадратов расстояний:
$$
QY^2=QX^2.
$$
$$
(x-1)^2+(0+4)^2=(x-9)^2+(0+5)^2.
$$
$$
x^2-2x+17=x^2-18x+106.
$$
$$
16x=89,\qquad x=\frac{89}{16}=5{,}5625.
$$
Проверка: $QY^2=QX^2=\frac{9425}{256}$. График: отметить $Y(1;-4)$, $X(9;-5)$; точка $Q$ лежит на оси $Ox$ и на серединном перпендикуляре к отрезку $YX$.

6. Прямая, параллельная данной
Ответ: $y=2{,}3x-1{,}9$.

Центр окружности найдём выделением полного квадрата:
$$
x^2-6x+y^2-10y-15=0,
$$
$$
(x-3)^2-9+(y-5)^2-25-15=0,
$$
$$
(x-3)^2+(y-5)^2=49.
$$
Центр $O(3;5)$, радиус $7$. У параллельной прямой тот же угловой коэффициент $2{,}3$:
$$
y-5=2{,}3(x-3)
\quad\Rightarrow\quad
y=2{,}3x-1{,}9.
$$
Проверка: при $x=3$ получаем $y=5$, то есть прямая действительно проходит через центр. График: окружность с центром $(3;5)$ и радиусом $7$; прямая через центр с угловым коэффициентом $2{,}3$. Данная прямая $y=2{,}3x-8{,}7$ параллельна ей и проходит ниже.