323. В какой точке пересекает ось x график функции, заданной формулой: а) y = 0,4x - 12; б) y = -1/3x + 8?

Ответ:

а) \( (0;\,9{,}6) \) и \( (4;\,0) \);
б) \( (0;\,-28) \) и \( (-40;\,0) \);
в) \( (0;\,6) \) и \( (-5;\,0) \);
г) \( (0;\,2) \) и \( (0{,}4;\,0) \).

Как это получить, не строя график

График функции \( y = kx + b \) пересекает:

• ось \( Oy \) при \( x = 0 \), поэтому \( y = b \);
• ось \( Ox \) при \( y = 0 \), тогда \( 0 = kx + b \), откуда \( x = -\frac{b}{k} \) (при \( k \neq 0 \)).

Решение по пунктам

а) \( y = -2{,}4x + 9{,}6 \):
с \( Oy \): \( x=0 \), \( y=9{,}6 \) — точка \( (0;\,9{,}6) \);
с \( Ox \): \( -2{,}4x + 9{,}6 = 0 \), \( x = 4 \) — точка \( (4;\,0) \).

б) \( y = -0{,}7x - 28 \):
с \( Oy \): \( y = -28 \) — точка \( (0;\,-28) \);
с \( Ox \): \( -0{,}7x - 28 = 0 \), \( x = -40 \) — точка \( (-40;\,0) \).

в) \( y = 1{,}2x + 6 \):
с \( Oy \): \( y = 6 \) — точка \( (0;\,6) \);
с \( Ox \): \( 1{,}2x + 6 = 0 \), \( x = -5 \) — точка \( (-5;\,0) \).

г) \( y = -5x + 2 \):
с \( Oy \): \( y = 2 \) — точка \( (0;\,2) \);
с \( Ox \): \( -5x + 2 = 0 \), \( x = 0{,}4 \) — точка \( (0{,}4;\,0) \).

Да, можно — ответ тот же, а путь другой: без составления уравнений, через смысл коэффициента \(k\).

Идея. График начинается в точке \((0;\,b)\) на оси \(Oy\). Чтобы попасть на ось \(Ox\), надо изменить \(y\) на \(-b\). Каждая единица по \(x\) меняет \(y\) на \(k\), значит нужно пройти \[ \Delta x=\frac{-b}{k}. \]

Считаю по пунктам

а) \(y=-2{,}4x+9{,}6\): \(b=9{,}6\), \(k=-2{,}4\); нужно \(\Delta y=-9{,}6\), тогда \[ \Delta x=\frac{-9{,}6}{-2{,}4}=4 \;\Rightarrow\; (4;\,0). \]

б) \(y=-0{,}7x-28\): \(b=-28\); нужно \(\Delta y=28\), \[ \Delta x=\frac{28}{-0{,}7}=-40 \;\Rightarrow\; (-40;\,0). \]

в) \(y=1{,}2x+6\): \(b=6\); нужно \(\Delta y=-6\), \[ \Delta x=\frac{-6}{1{,}2}=-5 \;\Rightarrow\; (-5;\,0). \]

г) \(y=-5x+2\): \(b=2\); нужно \(\Delta y=-2\), \[ \Delta x=\frac{-2}{-5}=0{,}4 \;\Rightarrow\; (0{,}4;\,0). \]

Тот же приём в виде формулы. Уравнение \(y=kx+b\) можно записать в «виде отрезков»: \[ \frac{x}{\left(-\frac{b}{k}\right)}+\frac{y}{b}=1, \] то есть точки пересечения сразу читаются: с \(Ox\) — \(\left(-\frac{b}{k};\,0\right)\), с \(Oy\) — \((0;\,b)\).

Проверка на одном пункте: для в) точка \((-5;\,0)\): \(1{,}2\cdot(-5)+6=-6+6=0\) — верно. Остальные точки совпали с предыдущим решением, значит способ работает.

Да, конечно. На фото как раз школьный способ: чтобы найти точку пересечения с осью \(Ox\), приравниваем \(y\) к нулю и решаем уравнение относительно \(x\). В пункте а) у тебя всё верно: \(x=4\). Оформлю так же все четыре пункта.

а) \(y=-2{,}4x+9{,}6\)

С осью \(Ox\): \[ -2{,}4x+9{,}6=0 \] \[ -2{,}4x=-9{,}6 \] \[ x=(-9{,}6):(-2{,}4)=4 \] Точка: \((4;\,0)\).

С осью \(Oy\): подставляем \(x=0\): \[ y=-2{,}4\cdot0+9{,}6=9{,}6 \] Точка: \((0;\,9{,}6)\).

б) \(y=-0{,}7x-28\)

С осью \(Ox\): \[ -0{,}7x-28=0 \] \[ -0{,}7x=28 \] \[ x=28:(-0{,}7)=-40 \] Точка: \((-40;\,0)\).

С осью \(Oy\): \[ y=-0{,}7\cdot0-28=-28 \] Точка: \((0;\,-28)\).

в) \(y=1{,}2x+6\)

С осью \(Ox\): \[ 1{,}2x+6=0 \] \[ 1{,}2x=-6 \] \[ x=-6:1{,}2=-5 \] Точка: \((-5;\,0)\).

С осью \(Oy\): \[ y=1{,}2\cdot0+6=6 \] Точка: \((0;\,6)\).

г) \(y=-5x+2\)

С осью \(Ox\): \[ -5x+2=0 \] \[ -5x=-2 \] \[ x=(-2):(-5)=0{,}4 \] Точка: \((0{,}4;\,0)\).

С осью \(Oy\): \[ y=-5\cdot0+2=2 \] Точка: \((0;\,2)\).

Проверка: подставляем найденные \(x\) в формулы — везде получается \(y=0\). Например, для в): \(1{,}2\cdot(-5)+6=-6+6=0\). Значит, точки найдены верно.

Да, можно. Оформляю так же, как в тетради: на оси \(Ox\) подставляем \(y=0\) и решаем уравнение.

Сначала поправлю последнюю строчку в тетради: там получилось \(x=-4\), а должно быть \(x=4\), потому что делим на коэффициент \(-2{,}4\): \[ -9{,}6:(-2{,}4)=4. \] Минус на минус даёт плюс.

а) \(y=-2{,}4x+9{,}6\)

С осью \(Ox\): \[ -2{,}4x+9{,}6=0 \] \[ -2{,}4x=-9{,}6 \] \[ x=-9{,}6:(-2{,}4)=4 \] Точка: \((4;0)\).

С осью \(Oy\): при \(x=0\) \[ y=9{,}6 \] Точка: \((0;9{,}6)\).

б) \(y=-0{,}7x-28\)

С осью \(Ox\): \[ -0{,}7x-28=0 \] \[ -0{,}7x=28 \] \[ x=28:(-0{,}7)=-40 \] Точка: \((-40;0)\).

С осью \(Oy\): при \(x=0\) \[ y=-28 \] Точка: \((0;-28)\).

в) \(y=1{,}2x+6\)

С осью \(Ox\): \[ 1{,}2x+6=0 \] \[ 1{,}2x=-6 \] \[ x=-6:1{,}2=-5 \] Точка: \((-5;0)\).

С осью \(Oy\): при \(x=0\) \[ y=6 \] Точка: \((0;6)\).

г) \(y=-5x+2\)

С осью \(Ox\): \[ -5x+2=0 \] \[ -5x=-2 \] \[ x=-2:(-5)=0{,}4 \] Точка: \((0{,}4;0)\).

С осью \(Oy\): при \(x=0\) \[ y=2 \] Точка: \((0;2)\).

Ответ:
а) \((0;9{,}6)\) и \((4;0)\);
б) \((0;-28)\) и \((-40;0)\);
в) \((0;6)\) и \((-5;0)\);
г) \((0;2)\) и \((0{,}4;0)\).