234. Какие преобразования надо выполнить, чтобы: а) из графика функции y = x³ получить графики функций y = -x³, y = (x - 3)³, y = x³ + 4;

На фото три задания — 234, 235 и 236. Ниже — краткий ответ и принцип построения.

Краткий ответ

234.
а) \(y=-x^3\) — отражение \(y=x^3\) относительно оси \(Ox\); \(y=(x-3)^3\) — сдвиг вправо на 3; \(y=x^3+4\) — сдвиг вверх на 4.
б) \(y=-\sqrt{x}\) — отражение \(y=\sqrt{x}\) относительно \(Ox\); \(y=\sqrt{x+5}\) — сдвиг влево на 5; \(y=\sqrt{x}-1\) — сдвиг вниз на 1.

235. Это три «уголка» с вершинами \((0;0)\), \((4;0)\) и \((4;-3)\).

236.
а) График \(y=|x^2-2x|\): часть параболы ниже оси \(Ox\) отражается вверх.
б) График \(y=x^2-2|x|\) симметричен относительно оси \(Oy\); это «W»-образная кривая с минимумами в \((-1;-1)\) и \((1;-1)\).

---

234. Преобразования графиков

Общие правила для \(a>0\):

• \(f(x-a)\) — сдвиг вправо на \(a\);
• \(f(x+a)\) — сдвиг влево на \(a\);
• \(f(x)+b\) — сдвиг вверх на \(b\);
• \(f(x)-b\) — сдвиг вниз на \(b\);
• \(-f(x)\) — отражение относительно оси \(Ox\).

а) Из \(y=x^3\)

\[ y=-x^3 \] Отражение графика \(y=x^3\) относительно оси \(Ox\).
Для кубической функции тот же график можно получить и отражением относительно \(Oy\), так как \((-x)^3=-x^3\).

\[ y=(x-3)^3 \] Сдвиг графика \(y=x^3\) вправо на 3 единицы.

\[ y=x^3+4 \] Сдвиг графика \(y=x^3\) вверх на 4 единицы.

б) Из \(y=\sqrt{x}\)

\[ y=-\sqrt{x} \] Отражение графика \(y=\sqrt{x}\) относительно оси \(Ox\).

\[ y=\sqrt{x+5} \] Сдвиг графика \(y=\sqrt{x}\) влево на 5 единиц: точка \((0;0)\) переходит в \((-5;0)\).

\[ y=\sqrt{x}-1 \] Сдвиг графика \(y=\sqrt{x}\) вниз на 1 единицу.

---

235. Три графика в одной плоскости

Строим график \(y=|x|\), затем его сдвигаем.

1. \(y=|x|\) — «уголок» с вершиной \((0;0)\), ветви идут вверх.

2. \(y=|x-4|\) — тот же график, сдвинутый вправо на 4.
   Вершина: \((4;0)\).
   Дополнительные точки: \((2;2)\), \((6;2)\).

3. \(y=|x-4|-3\) — график \(y=|x-4|\), сдвинутый вниз на 3.
   Вершина: \((4;-3)\).
   Точки для построения:
   \[ (1;0),\quad (4;-3),\quad (7;0). \] То есть график пересекает ось \(Ox\) в точках \(x=1\) и \(x=7\).

---

236. Построение графиков с модулем

а) \(f(x)=|x^2-2x|\)

Сначала раскрываем модуль:

\[ f(x)=|x(x-2)|= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 2,\\ -x^2+2x, & 0\le x\le 2. \end{cases} \]

Как построить:

• Берём параболу \(y=x^2-2x\).
• На промежутке \(0<x<2\) она находится ниже оси \(Ox\), поэтому эту часть отражаем вверх.
• Вне этого промежутка оставляем параболу без изменений.

Ключевые точки:

\[ (-1;3),\quad (0;0),\quad (1;1),\quad (2;0),\quad (3;3). \]

В точке \((1;1)\) — вершина верхней «арки». График весь лежит не ниже оси \(Ox\).

---

б) \(f(x)=x^2-2|x|\)

Раскрываем модуль:

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+2x=(x+1)^2-1, & x<0,\\ x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\ge 0. \end{cases} \]

Функция чётная:

\[ f(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=f(x), \]

поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).

Строим правую часть \(y=x^2-2x\) при \(x\ge0\), затем отражаем её влево.

Ключевые точки:

\[ (-2;0),\quad (-1;-1),\quad (0;0),\quad (1;-1),\quad (2;0). \]

Дополнительно можно взять \((\pm3;3)\).
График похож на «W»: два минимума \((-1;-1)\), \((1;-1)\), а в точке \((0;0)\) — локальный максимум.

---

Проверка

• В 236а: \(f(1)=|1-2|=1\), то есть точка \((1;1)\) действительно принадлежит графику.
• В 236б: \(f(-1)=1-2=-1\) и \(f(1)=1-2=-1\), значит, минимумы расположены симметрично.
• В 235 вершины: \((0;0)\), \((4;0)\), \((4;-3)\) — это сразу видно по сдвигам.