√(3x) = 2x - 3; √(2x - 1) = x

Кратко:
\[ \sqrt{3x}=2x-3 \ \Rightarrow\ x=3, \qquad \sqrt{2x-1}=x \ \Rightarrow\ x=1. \]

Главное правило: при возведении в квадрат уравнения \(\sqrt{A}=B\) могут появиться лишние корни. Поэтому нужно учитывать, что \(B\ge 0\), и проверять найденные \(x\).

1. \(\sqrt{3x}=2x-3\)

Подкоренное выражение неотрицательно: \(3x\ge0\), то есть \(x\ge0\).
Правая часть тоже должна быть неотрицательной: \[ 2x-3\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac32. \]

Возводим обе части в квадрат: \[ 3x=(2x-3)^2 \] \[ 3x=4x^2-12x+9 \] \[ 4x^2-15x+9=0. \]

Дискриминант: \[ D=15^2-4\cdot4\cdot9=225-144=81. \]

Корни: \[ x_{1,2}=\frac{15\pm9}{8}. \] Значит, \[ x_1=3,\qquad x_2=\frac34. \]

Но условию \(x\ge\frac32\) удовлетворяет только \(x=3\). Корень \(\frac34\) лишний: при нём правая часть \(2x-3\) отрицательна.

Проверка: \[ \sqrt{3\cdot3}=\sqrt9=3,\qquad 2\cdot3-3=3. \]

Ответ для первого уравнения: \(x=3\).

2. \(\sqrt{2x-1}=x\)

Нужно: \[ 2x-1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac12, \] а также \(x\ge0\), потому что правая часть равна квадратному корню. Итоговое условие: \[ x\ge\frac12. \]

Возводим в квадрат: \[ 2x-1=x^2 \] \[ x^2-2x+1=0 \] \[ (x-1)^2=0. \]

Отсюда: \[ x=1. \]

Проверка: \[ \sqrt{2\cdot1-1}=\sqrt1=1,\qquad x=1. \]

Ответ для второго уравнения: \(x=1\).

Внизу в тетради возведение в квадрат записано правильно — это хороший первый шаг, но после него обязательно проверяй корни.