Изобразите центральную проекцию куба ABCDA1B1C1D1 на плоскость параллельную плоскости AA1C1.

Кратко: изображение — прямоугольник, подобный диагональному сечению \(AA_{1}C_{1}C\); его стороны равны \(a\) и \(a\sqrt{2}\) (отношение \(1:\sqrt{2}\)), где \(a\) — ребро куба.

Почему так

1. При центральном проектировании из точки \(F\) на плоскость \(\pi\) фигура, лежащая в плоскости, параллельной \(\pi\), изображается подобной ей фигурой. Поэтому форму изображения куба определяет его сечение плоскостью, параллельной плоскости проекции. У нас \(\pi\parallel(AA_{1}C_{1})\), то есть «образец» — диагональное сечение \(AA_{1}C_{1}C\).

2. Найдём стороны этого сечения: \[ AA_{1}=CC_{1}=a,\qquad AC=A_{1}C_{1}=a\sqrt{2}. \] Ребро \(AA_{1}\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(AA_{1}\perp A_{1}C_{1}\). Значит, \(AA_{1}C_{1}C\) — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(a\sqrt{2}\).

3. Сравните с примером 2: там плоскость проекции была параллельна грани \(BB_{1}C_{1}C\), сечение — квадрат \(a\times a\), и изображение получалось квадратом. В задании сечение — прямоугольник \(a\times a\sqrt{2}\), поэтому и изображение куба — такой прямоугольник: он в \(\sqrt{2}\approx1{,}41\) раза длиннее, чем шире.

Как построить

• Проведите плоскость \(\pi\parallel(AA_{1}C_{1})\) и выберите центр \(F\) перед ней.
• Постройте проекции вершин \(A\), \(A_{1}\), \(C\), \(C_{1}\) — получится прямоугольник \(A'C'C_{1}'A_{1}'\), у которого \(A'C'=A_{1}'C_{1}'=a\sqrt{2}\) и \(A'A_{1}'=C'C_{1}'=a\).
• Изображения остальных рёбер дополняют чертёж; внешний контур — этот прямоугольник.

Размер изображения зависит от расстояния от \(F\) до плоскости, а форма определяется сечением: прямоугольник \(a\times a\sqrt{2}\).

Проверка: \(A_{1}C_{1}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}\), \(AA_{1}=a\), угол \(AA_{1}C_{1}\) прямой — сечение действительно прямоугольник, а не квадрат, поэтому и проекция не квадрат.