Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получить

Способ 1. Через дискриминант

Уравнение \(ax^2+bx+c=0\) здесь имеет коэффициенты: \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

Считаем дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. Через теорему Виета

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение — \(q\): \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\). Этот способ быстрее, когда корни — целые числа.

Способ 3. Разложение на множители

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, отсюда \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят. Главный принцип: у квадратного уравнения не больше двух корней, а знак дискриминанта сразу говорит, сколько их — два, один или ни одного.