покажи по схеме !

На фото два номера — 7.11 (биссектрисы) и 7.12 (высоты). Рисовать на твоём фото я не могу, поэтому показываю «по клеткам»: где именно должна пройти линия и как это проверить.

Короткий ответ

• 7.11 а) Биссектриса \(CD\) из \(C\) идёт почти горизонтально вправо и попадает в \(AB\) на \(\frac{2}{5}\) пути от \(A\) к \(B\).
• 7.11 б) Биссектриса \(AD\) из \(A\) идёт вправо-вверх и попадает в \(CB\) примерно в \(1{,}2\) клетки правее \(C\).
• 7.12 а) Высота \(CD\) перпендикулярна \(AB\) и приходит ровно в середину \(AB\).
• 7.12 б) Высота \(AD\) перпендикулярна \(BC\), но падает на продолжение \(BC\) за точку \(C\) (угол \(C\) тупой).

1. Биссектриса: главный принцип

Биссектриса — луч из вершины, который делит угол пополам. На клетках её удобно строить по теореме о биссектрисе:

\[ \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB} \]

то есть точка \(D\) делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Длины сторон считаем по клеткам (теорема Пифагора).

7.11 а) От \(C\) до \(B\) — 5 клеток вправо и 2 вверх, от \(C\) до \(A\) — 3 вправо и 2 вниз:

\[ AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\approx3{,}6,\qquad CB=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\approx5{,}4 \]

Значит \(AD:DB\approx3{,}6:5{,}4=2:3\), то есть \(D\) — на \(\frac{2}{5}\) отрезка \(AB\) от \(A\). От \(A\) до \(B\) — 2 клетки вправо и 4 вверх, поэтому \(D\) получается примерно на \(0{,}8\) клетки вправо и \(1{,}6\) клетки вверх от \(A\).

Практически: из \(C\) луч идёт почти вдоль горизонтальной линии сетки, чуть опускаясь (на 4 клетки вправо — меньше полклетки вниз), и пересекает \(AB\) чуть левее узла, стоящего на 4 клетки правее \(C\).

7.11 б) Здесь \(C\) и \(B\) на одной горизонтали (4 клетки), а \(C\to A\) — 2 клетки влево и 2 вниз, значит \(A\to C\) — 2 вправо и 2 вверх, \(A\to B\) — 6 вправо и 2 вверх:

\[ AC=\sqrt{8}\approx2{,}8,\qquad AB=\sqrt{40}\approx6{,}3,\qquad CB=4 \]

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\approx\frac{6{,}3}{2{,}8}\approx2{,}24,\quad BD+DC=4\ \Rightarrow\ DC\approx1{,}2 \]

Значит \(D\) — чуть правее узла, который стоит на 1 клетку правее \(C\) на линии \(CB\).

Проверка: точка \(D\) обязательно лежит на противоположной стороне, и должно выполняться \(\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}\). Второй рабочий способ — транспортир: измерь угол и отложи половину (в а) угол при \(C\approx55^\circ\), значит по \(28^\circ\) от каждой стороны).

2. Высота: клеточное правило перпендикуляра

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. На клетках работает правило: если сторона идёт на \((p;q)\) (то есть \(p\) клеток вправо, \(q\) вверх), то перпендикуляр идёт на \((-q;p)\). Скалярное произведение при этом равно нулю, поэтому угол действительно прямой:

\[ p\cdot(-q)+q\cdot p=0 \]

7.12 а) Сторона \(AB\): 7 клеток вправо, 3 вверх. Перпендикуляр: 3 вправо, 7 вниз (или 3 влево, 7 вверх). Из \(C\) он приходит ровно в середину \(AB\) — это центр клетки, то есть \(3{,}5\) клетки вправо и \(1{,}5\) клетки вверх от \(A\). Проще всего: отметь середину \(AB\) и соедини с \(C\).

7.12 б) Сторона \(BC\): 4 клетки вправо, 3 вниз. Перпендикуляр: 3 вправо, 4 вверх. Из \(A\) пройди 3 клетки вправо и 4 вверх — через эту точку идёт прямая, перпендикулярная \(BC\). Так как угол \(C\) тупой, она пересечёт не сам отрезок \(BC\), а его продолжение за точку \(C\) — там и будет \(D\).

3. Как себя проверить

• Биссектриса: \(\angle ACD=\angle DCB\) и \(\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}\).
• Высота: прямой угол проверяется «крест-накрест» по клеткам: сторона \((p;q)\) — перпендикуляр \((-q;p)\).
• Если точка \(D\) вышла за пределы стороны — для высоты это нормально, для биссектрисы — нет (там \(D\) всегда внутри стороны).