выполни 19, 26, 29, 32 с решением

Question

Расшифровка фото нейросетью:
19. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что $ \angle NBA = 43^\circ $. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: окружность с диаметром AB; точка N над диаметром, точка M под диаметром; проведены отрезки, образующие углы NBA и NMB.]

20. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 33°. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: окружность; треугольник ABC вписан в окружность; сторона AB проходит через центр O.]

21. В угол C величиной 57° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: угол с вершиной C; окружность с центром O вписана в угол и касается его сторон в точках A и B; проведены радиусы OA и OB.]

22. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC, если AC = 9.
[Рисунок: окружность; треугольник ABC вписан в окружность; сторона AB проходит через центр окружности.]

Answer

Кратко: 19) $47^\circ$; 26) $57^\circ$; 29) $123^\circ$; 32) $40$.

19

$AB$ — диаметр, значит вписанный $\angle ANB=90^\circ$. В $\triangle ANB$:
$$
\angle NAB=90^\circ-\angle NBA=90^\circ-43^\circ=47^\circ.
$$
Углы $\angle NAB$ и $\angle NMB$ опираются на одну и ту же дугу $NB$, поэтому равны:
$$
\angle NMB=47^\circ.
$$

26

Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр. Тогда $\angle ACB=90^\circ$ — угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном $\triangle ABC$:
$$
\angle ABC=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-33^\circ=57^\circ.
$$

29

Радиусы $OA$ и $OB$, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла:
$$
\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.
$$
В четырёхугольнике $AOBC$ сумма углов $360^\circ$:
$$
\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-57^\circ=123^\circ.
$$

32

$AB$ — диаметр, поэтому
$$
AB=2R=2\cdot 20{,}5=41.
$$
Угол $\angle ACB=90^\circ$. По теореме Пифагора:
$$
BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{41^2-9^2}
=\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40.
$$
Проверка: $9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$, всё сходится.

Что запомнить: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$; вписанные углы на одну дугу равны; радиус к точке касания перпендикулярен касательной.