161. Докажите тождество: а) (2p-q)/pq - 1/(p+q)·(p/q - q/p) = 1/q;

Тождество 161 а) верно: после преобразований левая часть действительно равна \(\dfrac{1}{q}\). По части б) фото перевёрнуто, и правая часть читается неуверенно — разберу а) и покажу приём, а для б) нужен более чёткий кадр.

161 а)

Доказываем, что левая часть равна правой.

1. Упростим скобку — приведём дроби к общему знаменателю \(pq\): \[ \frac{p}{q}-\frac{q}{p}=\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{(p-q)(p+q)}{pq}. \]

2. Умножим на \(\frac{1}{p+q}\); множитель \(p+q\) сокращается: \[ \frac{1}{p+q}\cdot\frac{(p-q)(p+q)}{pq}=\frac{p-q}{pq}. \]

3. Вычтем из первой дроби — знаменатели уже одинаковые: \[ \frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq}=\frac{2p-q-p+q}{pq}=\frac{p}{pq}=\frac{1}{q}. \]

Правая часть получена, тождество доказано. Ограничения: \(p\ne0\), \(q\ne0\), \(p\ne -q\).

Проверка. При \(p=3\), \(q=2\): \[ \frac{4}{6}-\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}. \]

Принцип. В подобных тождествах удобно идти от более сложной части: разложить разность квадратов, сократить общие множители, привести дроби к общему знаменателю — и следить, чтобы знаменатели не обращались в нуль.

161 б)

Начало преобразования левой части: \[ \frac{2(a-b)}{a+b}-\frac{a-b}{a}=(a-b)\left(\frac{2}{a+b}-\frac{1}{a}\right)=(a-b)\cdot\frac{2a-(a+b)}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{a(a+b)}. \] Чтобы доказать тождество, нужно сверить это с правой частью, а она на снимке мелкая. Пришлите, пожалуйста, фото части б) крупнее и в нормальной ориентации — я разберу её по шагам.