aici e evaluarea la matematică pentru mâine, ajutămā sā înțeleg pașii de rezolvare

Hai, pe rând. Rezultatele sunt mai jos, apoi explicația scurtă.

1. Graficul funcției

Din grafic, dreapta trece prin \((0;3)\) și \((3;0)\), deci \[ f(x)=-x+3. \]

a) Funcția ia valori pozitive când \(f(x)>0\): \[ -x+3>0 \Rightarrow x<3, \] deci \(x\in(-\infty;3)\).

b) Zeroul funcției: \(x=3\).

c) Dacă \(f(x)=2\): \[ -x+3=2 \Rightarrow x=1. \]

d) \[ f(-1)=-(-1)+3=4,\qquad f(4)=-4+3=-1, \] deci \[ f(-1)\cdot f(4)=4\cdot(-1)=-4. \]

Răspunsuri: a) \((-\infty;3)\); b) \(3\); c) \(1\); d) \(-4\).

---

2. Lumânarea

Lungimea inițială este 20 cm, iar în fiecare oră scade cu 2 cm. Dacă \(t\) este timpul în ore: \[ L(t)=20-2t,\qquad 0\le t\le 10. \]

---

3. Funcția \(f(x)=\dfrac{a}{x}\)

Pentru ca \(f(x)=\dfrac{a}{x}\) să fie strict descrescătoare pe domeniul pozitiv, luăm \(a>0\).

De exemplu: \[ a=1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}. \] Când \(x\) crește, \(\frac{1}{x}\) scade.

Răspuns: orice număr pozitiv, de exemplu \(1\).

---

4. Punctul \(M(1;-2)\)

Un punct aparține graficului dacă \(f(1)=-2\).

Varianta corectă este B: \[ f(x)=-2 \Rightarrow f(1)=-2. \]

---

5. Funcția \(f(x)=x^3\)

\[ A\left(\frac12;\ \square\right)\in G_f \] înseamnă: \[ f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^3=\frac18. \]

Pentru \(B\): \[ x^3=-64=(-4)^3 \Rightarrow x=-4. \]

Răspunsuri: \[ A\left(\frac12;\frac18\right),\qquad B(-4;-64). \]

---

6. Funcția \(f(x)=3x^2+x-2\)

a) Zerourile

Rezolvăm: \[ 3x^2+x-2=0. \] \[ \Delta=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25, \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{6}. \] Deci: \[ x_1=\frac{-1+5}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{-1-5}{6}=-1. \]

Zerourile: \(-1\) și \(\frac23\).

b) Monotonia

Vârful parabolei: \[ x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot3}=-\frac16. \] Deoarece coeficientul lui \(x^2\) este \(3>0\), parabola are ramurile în sus.

Deci:

• funcția scade pe \(\left(-\infty;-\frac16\right]\);
• funcția crește pe \(\left[-\frac16;\infty\right)\).

c) Semnele funcției

Ramurile sunt în sus, deci funcția este:

• pozitivă în afara rădăcinilor;
• negativă între rădăcini.

\[ f(x)>0 \text{ pentru } x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac23;\infty\right), \] \[ f(x)<0 \text{ pentru } x\in\left(-1;\frac23\right), \] iar \(f(x)=0\) pentru \(x=-1\) și \(x=\frac23\).

d) Extremele

Valoarea minimă se atinge în vârf: \[ f\left(-\frac16\right)=3\cdot\frac1{36}-\frac16-2 =\frac1{12}-\frac2{12}-\frac{24}{12} =-\frac{25}{12}. \]

Deci: \[ \text{minim}=-\frac{25}{12}\text{ în }x=-\frac16. \] Funcția nu are maxim pe \(\mathbb{R}\).

e) Schița graficului

Desenezi o parabolă cu ramurile în sus, care:

• taie axa \(Ox\) în \(-1\) și \(\frac23\);
• taie axa \(Oy\) în \(-2\);
• are vârful în punctul \[ \left(-\frac16;-\frac{25}{12}\right). \]

---

7. Determinarea lui \(m\)

\[ f(x)=mx+8m-13. \] Zeroul este valoarea lui \(x\) pentru care \(f(x)=0\). Ni se spune că zeroul este \(5\), deci punem \(x=5\): \[ 5m+8m-13=0. \] \[ 13m=13 \Rightarrow m=1. \]

Răspuns: \(m=1\).