номер 161

Кратко: оба тождества верны. Доказываем преобразованием левой части — при допустимых значениях переменных, когда все знаменатели отличны от нуля.

а)

Сначала упростим скобку: \[ \frac{p}{q}-\frac{q}{p} =\frac{p^2-q^2}{pq} =\frac{(p-q)(p+q)}{pq}. \]

Подставляем: \[ \frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot \frac{(p-q)(p+q)}{pq} = \frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq} = \frac{p}{pq} = \frac{1}{q}. \]

Получили правую часть. Тождество доказано при \(p\ne0,\ q\ne0,\ p+q\ne0\).

б)

Приведём левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a^2-b^2)}. \]

Раскрываем разность квадратов в числителе: \[ (a+b)^2-(a-b)^2=4ab, \] поэтому \[ \text{левая часть} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2}. \]

Теперь преобразуем правую часть. Так как \[ b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b), \] то \[ \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2} = \frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b}. \]

Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{b(a+b)+b(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}. \]

Левая и правая части совпали. Тождество доказано при \(a\ne b\) и \(a\ne -b\).

Главный приём здесь — приводить дроби к общему знаменателю и использовать формулу \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]